Частотная дисперсия проводимости (металлов и плазмы)

[Freude]

Но ведь на наблюдаемые (измеряемые) физ. характерестики и параметры разные знаки в экспоненте не должны влиять, правда?

[Sidar]

Freude писал(а):

Если, соглаcно вашему утверждению, формула Друде хорошо описывает проводимость, а феноменологические параметры известны из эксперимента, то не могли бы вы тогда разъяснить следующее:

1) Зависит ли формула Друде от размерности рассматриваемой системы, если да, то не могли бы вы привести формулу Друде для двумерного электронного газа
2) Зависит ли "постоянная вермени релаксации" от температуры и концентрации носителей плазмы? Если да, то имеется ли простая формула, аналогичная формуле Друде, для этих зависимостей, полученная без квантовомеханических фантазий.
3) Есть еще уравнение Друде-Лоренца, описывающее взаимодействие электронов проводимости с внешним полем. Это уравнение основано на теории Друде. Справедливо ли это уравнение при высоких интенсивностях полей?

Я искренее хочу выяснить эти вопросы.

==========================================
Формула Друде в полуэмпирической модификации (2) хорошо описывает проводимость через феноменологические параметры, определяемые экспериментально, вследствие реально наблюдаемых динамических (частотных) закономерностей этой проводимости за счёт свободных носителей заряда. При этом времена релаксации электронной проводимости в металлах соответствуют частотам УФ-диапазона оптического спектра. Времена релаксации тех же электронов [однако, электронов условно свободных («прыгучих») и сопутствующих им дырок] в объёме полупроводников соответствуют частотам ИК-диапазона (данных по которым явно не достаточно для сравнительного анализа).
Далее, ответы по существу каждого из поставленных вопросов:

1. Параметры полуэмпирической формулы Друде, определяющие время релаксации, несомненно, зависят «от размерности рассматриваемой системы» и, надо полагать, с классическим переходом от удельных характеристик к объёмным или поверхностным (как для статической проводимости, так и для индуктивности). Двумерные проводники отличаются большим разнообразием и должны рассматриваться в конкретном варианте. Характерным примером «двумерного электронного газа» являются «инверсионные слои» у границы полупроводников, замечательно подходящие для анализа частотной дисперсии продольной проводимости по модели Друде. И эта возможность в должной мере ещё не использована.

2. Зависимость "постоянной времени релаксации" от температуры и концентрации носителей плазмы определяется таковыми зависимостями «статической проводимости» и «дифференциальной индуктивности», полученными экспериментально.

3. «Уравнение Друде-Лоренца, описывающее взаимодействие электронов проводимости с внешним полем» - это, видимо, из «другой оперы». Известны, в частности для вычисления электропроводности, «ориентировочная формула Друде», «уточнённая формула Лоренца» и «квантовая формула Зоммерфельда» [Р. Беккер,ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА. Том 2. Электронная теория. - Л.-М.: ГТТИ, 1941, с. 194, 201, 231]. Однако, эти формулы не более результативны, как «стрельба из пушки по воробьям», в сравнении с которыми в полуэмпирической модификации формулы Друде удельная статическая электропроводность достаточно надёжно и точно определяется в результате измерений.

[Freude]

Цитата:

Характерным примером «двумерного электронного газа» являются «инверсионные слои» у границы полупроводников, замечательно подходящие для анализа частотной дисперсии продольной проводимости по модели Друде. И эта возможность в должной мере ещё не использована.

Я бы не был столь уверенным. Думаю ступенчатый характер проводимости в квантоворазмерном канале формула Друде передать не сможет.

Цитата:

Зависимость "постоянной времени релаксации" от температуры и концентрации носителей плазмы определяется таковыми зависимостями «статической проводимости» и «дифференциальной индуктивности», полученными экспериментально.

Не слишком ли много феменологических параметров, уж очень много экспериментов предстоит провести для каждого материала. Не лучше ли воспользоваться теорией, которая неоднократно была подтверждена экспериментально? Я имею в виду вычисление проводимости на основе многочастичной квантовой теории.

Цитата:

«Уравнение Друде-Лоренца, описывающее взаимодействие электронов проводимости с внешним полем» - это, видимо, из «другой оперы». Известны, в частности для вычисления электропроводности, «ориентировочная формула Друде», «уточнённая формула Лоренца» и «квантовая формула Зоммерфельда» [Р. Беккер,ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА. Том 2. Электронная теория. - Л.-М.: ГТТИ, 1941, с. 194, 201, 231]. Однако, эти формулы не более результативны, как «стрельба из пушки по воробьям», в сравнении с которыми в полуэмпирической модификации формулы Друде удельная статическая электропроводность достаточно надёжно и точно определяется в результате измерений.

Вы еще видимо забыли о формуле Кубо и формуле Ландауера-Бутикера.

[Sidar]

Freude писал(а):

Но ведь на наблюдаемые (измеряемые) физ. характерестики и параметры разные знаки в экспоненте не должны влиять, правда?

======================================
Это не «экспонента», а так называемый «множитель вращения» $e^{\pm{j\omega t}}$ на комплексной плоскости или показательная форма представления комплексного числа (по Эйлеру) и вращающихся временных векторов (по Френелю). И разные знаки в этом множителе в итоге влияют на правильность интерпретации «наблюдаемых (измеряемых) физ. характеристик и параметров».
За положительное направление вращения (отсчёта угла) общепринято вращение векторов против часовой стрелки, что соответствует естественному положительному направлению осей в первом квадранте (оси ординат – вверх, оси абсцисс – вправо).
Такое положение принято со времени разработки «символического метода» в 1879 г. Ч. П. Штейнмецом [“Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena”], являющегося аналитическим развитием метода векторных диаграмм.
Самодеятельность в изменении принятых исходных направлений осей здесь совершенно ни к чему, если специально не стремиться вызвать дополнительную путаницу.

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

Freude писал(а):

Цитата:

Характерным примером «двумерного электронного газа» являются «инверсионные слои» у границы полупроводников, замечательно подходящие для анализа частотной дисперсии продольной проводимости по модели Друде. И эта возможность в должной мере ещё не использована.

Я бы не был столь уверенным. Думаю ступенчатый характер проводимости в квантоворазмерном канале формула Друде передать не сможет.

Цитата:

Зависимость "постоянной времени релаксации" от температуры и концентрации носителей плазмы определяется таковыми зависимостями «статической проводимости» и «дифференциальной индуктивности», полученными экспериментально.

Не слишком ли много феменологических параметров, уж очень много экспериментов предстоит провести для каждого материала. Не лучше ли воспользоваться теорией, которая неоднократно была подтверждена экспериментально? Я имею в виду вычисление проводимости на основе многочастичной квантовой теории.

Цитата:

«Уравнение Друде-Лоренца, описывающее взаимодействие электронов проводимости с внешним полем» - это, видимо, из «другой оперы». Известны, в частности для вычисления электропроводности, «ориентировочная формула Друде», «уточнённая формула Лоренца» и «квантовая формула Зоммерфельда» [Р. Беккер,ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА. Том 2. Электронная теория. - Л.-М.: ГТТИ, 1941, с. 194, 201, 231]. Однако, эти формулы не более результативны, как «стрельба из пушки по воробьям», в сравнении с которыми в полуэмпирической модификации формулы Друде удельная статическая электропроводность достаточно надёжно и точно определяется в результате измерений.

Вы еще видимо забыли о формуле Кубо и формуле Ландауера-Бутикера.

=======================================
К теоретической формуле Друде можно добавлять сколько угодно расчётных поправок (будь то «формула Кубо», «формула Ландауера-Бутикера» или ещё не известно что), суть её от этого мало изменится.
Что касается «модифицированной полуэмпирической формулы (2) по модели Друде», то здесь более существенны именно экспериментальные данные или даже ориентировочно принятые численные значения характеристических параметров, согласующиеся с экспериментом. Хороших экспериментов много не бывает. Во всяком случае, одно другому (теория эксперименту) не помеха.
Вполне возможно, что «ступенчатый характер проводимости в квантоворазмерном канале формула Друде передать не сможет», если преобладающими окажутся процессы «рассеяния» на случайных неоднородностях (типа заряженных примесей, фононов или шероховатостей поверхности полупроводника и т. п.). Однако, характер взаимодействия, например, «левитирующих электронов» инверсионного слоя с поверхностью может оказаться и несколько иным в других конкретных двумерных проводящих системах, в частности, более соответствующим модели Друде. По крайней мере, уже имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют, что модель Друде должна быть подкорректирована в сторону отображения частично резонансных свойств условно «свободных» носителей заряда, что сравннительно не сложно сделать уже на текущий момент и что также существенно важно для всех полупроводников. Кстати, оптиков в УФ-диапазоне спектра также уже не вполне устраивает известная модификация модели Друде для проводимости металлов (в виде «формулы Друде-Зинера»).

[Freude]

Я не знаю, честно говоря, возможно ли привести формулы Кубо и Ландауэра-Бутикера аналитически к формуле Друде. Особенно у меня сомнения в последнем случае. Формула Кубо связывает функции Грина или корреляционную функцию с проводимостью, формула Ландауэра-Бутикера связывает проводимость и коэффициент прохождения носителей. Обе формулы позволяют расчитать проводимость "из первых принципов" и дают хорошее согласование с экспериментом в своих областях применимости. Формала Ландауэра-Бутикера хороша для баллистического транспорта в квантоворазмерных каналах, формула Кубо хороша везде, где можно применить формализм функций Грина.

Цитата:

По крайней мере, уже имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют, что модель Друде должна быть подкорректирована в сторону отображения частично резонансных свойств условно «свободных» носителей заряда, что сравннительно не сложно сделать уже на текущий момент и что также существенно важно для всех полупроводников.

Да, вот как быть с резонансными свойствами, как подкоректировать? Допустим у нас есть квантовая нить или точечный контакт, которые характеризуются электронными модами распространения. Проводимость изменяется скачком при увеличинии энергии носителей и возбуждении все новых мод. Или, например, как быть если в приповерхностном слое квазидвумерный электронный газ характеризуется несколькими подзонами, а не одной. Было бы очень интересно обсудить применение формулы Друде для таких систем, только нужно сделать выкладки.

Цитата:

Кстати, оптиков в УФ-диапазоне спектра также уже не вполне устраивает известная модификация модели Друде для проводимости металлов (в виде «формулы Друде-Зинера»).

А я знаю, что оптиков в ИК и оптическом диапазонах эта формула неочень устраивает.

Я мало что знаю о формуле Друде-Зинера. Пореккомендуйте, пожалуйста, где о ней можно поподробнее почитать. Интересно также Ваше мнение по поводу обобщения формулы Друде.

[Sidar]

Freude писал(а):

.................................

Цитата:

По крайней мере, уже имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют, что модель Друде должна быть подкорректирована в сторону отображения частично резонансных свойств условно «свободных» носителей заряда, что сравннительно не сложно сделать уже на текущий момент и что также существенно важно для всех полупроводников.

Да, вот как быть с резонансными свойствами, как подкоректировать? Допустим у нас есть квантовая нить или точечный контакт, которые характеризуются электронными модами распространения. Проводимость изменяется скачком при увеличинии энергии носителей и возбуждении все новых мод. Или, например, как быть если в приповерхностном слое квазидвумерный электронный газ характеризуется несколькими подзонами, а не одной. Было бы очень интересно обсудить применение формулы Друде для таких систем, только нужно сделать выкладки.

Цитата:

Кстати, оптиков в УФ-диапазоне спектра также уже не вполне устраивает известная модификация модели Друде для проводимости металлов (в виде «формулы Друде-Зинера»).

А я знаю, что оптиков в ИК и оптическом диапазонах эта формула неочень устраивает.

Я мало что знаю о формуле Друде-Зинера. Пореккомендуйте, пожалуйста, где о ней можно поподробнее почитать. Интересно также Ваше мнение по поводу обобщения формулы Друде.

========================================
Если подвести некоторые итоги в экспериментальном подтверждении исходной модели Друде, то можно отметить следующее:

- В УФ-диапазоне спектра для частотной дисперсии проводимости металлов плавный характер релаксационной кривой снижения электропроводнмости с уменьшением длины волны действительно имеет место (с некоторыми отклонениями, особенно, - для Ag). При этом соблюдается общая закономерность, следующая из формулы Друде, увеличения времени релаксации пропорционально величине характеристической статической удельной проводимости металла (например, в ряду металлов Cr – Al – Ag – Au).
-
- В электролитах частотная дисперсия ионной проводимости также вполне соответствует модели Друде, хотя ввиду плавного характера зависимости недостаточно чётко идентифицируется экспериментально. По крайней мере, в практике влагометрии и исследовании минералов вполне достоверно установлено снижение влияния ионной проводимости (например, растворённых солей) в СВЧ-диапазоне с уменьшением длины волны и её падением практически до нуля в субмиллиметровом диапазоне. Для коллоидных растворов с молионной проводимостью процессы релаксации (по модели Друде) могут наблюдаться в ещё более низкочастотном диапазоне.

- В полупроводниках о характеристиках частотной дисперсии электронной и «дырочной» проводимости можно судить по границам «окон прозрачности», длинноволновая граница которых как раз и определяется исчезновением проводимости за счёт свободных носителей (других влияющих факторов, надо полагать, с этой стороны не существует). Так, для наиболее распространённых в электронной и оптической промышленности полупроводников, наблюдаются следующие «окна прозрачности»:
Si (кремний) (20 -15) …… (1,1 – 1,05) мкм
GaAs (арсенид галлия) (20 -12) …… (1,2 – 0,9) мкм
Ge (германий) (20 -15) …… (1,8 – 1,5) мкм
Коротковолновая граница здесь чётко определяется экситонными пиками на краю фундаментального поглощения соответствующих полупроводников.
Сравнительно резкий характер длинноволновой границы как-раз и вынуждает предполагать необходимость некоторой модификации модели Друде в резонансном отношении.
А прыжковый характер электронной и дырочной проводимости полупроводников в определённой мере роднит их с квантованными процессами, в частности, и в «квазидвумерном электронном газе» с некоторым набором подзон.

[Sidar]

Freude писал(а):

............................................

Я мало что знаю о формуле Друде-Зинера. Пореккомендуйте, пожалуйста, где о ней можно поподробнее почитать. ...

=====================================
[1] Друде П. Оптика. – М. – Л., 1935.
[2] Zener C., Nature 132, 1953, 968.
[3] Соколов А. В. Оптические свойства металлов. – М.: Физматгиз, 1961. - 464 с.
[4] Степанов Б. И. Введение в современную оптику: Основные представления оптической науки на пороге ХХ века. –Мн.: Наука и техника, 1989. – 359 с.

[Fedor F]

Уважаемый, Александр Мечиславовичь, что касается проводников и плазмы, особенно при малой диссипации, то здесь роль кинетической индуктивности особенно хорошо видна. Однако, во всех материальных средах имеются заряды, будь то связанные, будь то свободные. При распространении ЭМ волн в материальных средах эти заряды всегда осуществляют колебательные движения, а следовательно в описание этих процессов всегда будет принимать усастие кинетическая индуктивность. Правда описание свободных и связанных зарядов будет несколько отличаться. Если в плазме это глобальный коллективный процесс, когда вся плазма независимо от занимаемого объёма представляет единый резонансный контур, резонирующий на ленгмюровской частоте, то в диэлектриках каждая связанноя пара это отдельный самостоятельный диполь представляющий уже не параллельный а последовательный резонансный контур. И здесь имется гораздо большее количество всяких вариантов. http://fmnauka.narod.ru. "Существуют ли ошибки в современной физике". Например, эсли указанные диполи сильно удалены, как это имеет место в рубине, и слабо связаны, то они будут резонировать на одной частоте. Если связь между ними сильная, то линии поглощения будут занимать целые полосы и т.д. Конечно в указанной работе изложены только начальные принципы такого рассмотрения. Но было бы очень интересно более тщательно рассмотреть этот вопрос. Думаю, что это подсилу только вам. И если вы столь же блестяще раскроете эту тему, как раскрыли тему дисперсии проводимости проводников, то это принесет большую пользу и радость всем читателям форума. Тема моглабы звучать примерно так. "Роль кинетической индуктивности в формировании проводимости диэлектриков". Или еще лучше " Дисперсия проводимости диэлектриков"

[Sidar]

Sidar писал(а):

Freude писал(а):

............................................

Я мало что знаю о формуле Друде-Зинера. Пореккомендуйте, пожалуйста, где о ней можно поподробнее почитать. ...

=====================================
[1] Друде П. Оптика. – М. – Л., 1935.
[2] Zener C., Nature 132, 1953, 968.
[3] Соколов А. В. Оптические свойства металлов. – М.: Физматгиз, 1961. - 464 с.
[4] Степанов Б. И. Введение в современную оптику: Основные представления оптической науки на пороге ХХ века. –Мн.: Наука и техника, 1989. – 359 с.

======================================
Формулы Друде-Зинера выглядят следующим образом [Соколов А. В. Оптические свойства металлов. – М.: Физматгиз, 1961, с. 87, 122, 191] (здесь приведены с заменой некоторых буквенных греческих обозначений величин):

$\sigma (\omega) = \frac{\upsilon^2}{\omega^2 + \upsilon^2}\sigma_0 = \frac{N e^2}{m} \frac{\upsilon}{\omega^2 + \upsilon^2}$

$\epsilon(\omega) = 1 - \frac{4\pi \upsilon}{\omega^2 + \upsilon^2}\sigma_0 = 1 - \frac{4\pi N {e}^2}{m (\omega^2 + \upsilon^2)}$

По существу, формулы Друде-Зинера непосредственно следуют из теоретической формулы Друде для металлов при введении некой дополнительной величины $\upsilon = \frac{1}{\tau}$ с последующей их компоновкой в виде характеристических параметров оптической среды для электромагнитной волны. При этом оказывается, что дополнительные осложнения возникают также вследствие применения в расчётах архаической нерационализированной системы единиц (СГСЭ), в частности, с множителем $4\pi$ для поляризуемости (чем часто грешат физики из принципиальных соображений).
В результате в оптике и возникает запутанная ситуация с формулами Друде-Зинера и нестыковки, которые констатируют повсеместно, например, наряду с подобными доводами: «Модель Друде-Зинера предполагает, что все электроны внутри металла свободны. К этому нет серьёзных оснований. Скорее всего часть электронов внутри металла свободна, другая часть связана». [Степанов Б. И. Введение в современную оптику: Основные представления оптической науки на пороге ХХ века. - Мн.: Наука и техника, 1989, с. 297]. В этом есть определённая доля истины, в частности, для напылённых рыхлых плёнок металлов.

[Freude]

Спасибо за подробное разьяснение.

Цитата:

В результате в оптике и возникает запутанная ситуация с формулами Друде-Зинера и нестыковки, которые констатируют повсеместно, например, наряду с подобными доводами: «Модель Друде-Зинера предполагает, что все электроны внутри металла свободны. К этому нет серьёзных оснований. Скорее всего часть электронов внутри металла свободна, другая часть связана».

Как я понимаю эта формула работает для однородных сред, но, если в среде присутствуют неоднородности, способные локализовать носители, она неприменима. К таким средам можно отнести структуры с "пониженной размерностью", в которых локализация происходит в одном или нескольких измерениях.

[Sidar]

Freude писал(а):

...

Цитата:

В результате в оптике и возникает запутанная ситуация с формулами Друде-Зинера и нестыковки, которые констатируют повсеместно, например, наряду с подобными доводами: «Модель Друде-Зинера предполагает, что все электроны внутри металла свободны. К этому нет серьёзных оснований. Скорее всего часть электронов внутри металла свободна, другая часть связана».

Как я понимаю эта формула работает для однородных сред, но, если в среде присутствуют неоднородности, способные локализовать носители, она неприменима. К таким средам можно отнести структуры с "пониженной размерностью", в которых локализация происходит в одном или нескольких измерениях.

========================================
В отношении частично свободных и частично связанных электронов металла проблема может быть сформулирована в несколько ином аспекте, а именно, - отличия электрических свойств металла «в объёме» и «на поверхности» (или в иных структурах с “пониженной размерностью”).
Не исключено, что полуэмпирическая «формула Друде» (в отличие от известной таковой расчётной) приемлема в качестве основы также и при преобладающем влиянии рассеяния на примесях, фононах и прочих неоднородностях, если характерная для неё частотная дисперсия наблюдается экспериментально на фоне мешающих факторов.

[Sidar]

Sidar писал(а):

.....................................................
========================================
В отношении частично свободных и частично связанных электронов металла проблема может быть сформулирована в несколько ином аспекте, а именно, - отличия электрических свойств металла «в объёме» и «на поверхности» (или в иных структурах с “пониженной размерностью”).
Не исключено, что полуэмпирическая «формула Друде» (в отличие от известной таковой расчётной) приемлема в качестве основы также и при преобладающем влиянии рассеяния на примесях, фононах и прочих неоднородностях, если характерная для неё частотная дисперсия наблюдается экспериментально на фоне мешающих факторов.

==============================================
РЕЛАКСАЦИЯ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
Электрическая проводимость металлов определяется тем, насколько свободно электроны могут перемещаться по образцу. Движению электронов мешает рассеяние на колебаниях решетки (фононах), примесях и других электронах. На эксперименте наблюдаются не акты рассеяния отдельных электронов, а отклик всей совокупности подвижных носителей заряда. Этот отклик количественно определяется скоростями релаксации, которые характеризуют быстроту возврата системы в равновесие после внешнего возмущения. В простейшем случае, когда динамика всей системы обусловлена одним-единственным временем релаксации τ, частотная зависимость комплексной проводимости описывается так называемой формулой Друде σ1+iσ2 = σ0(1-iωτ)-1. Принято считать, что эта простая формула неприменима к металлам с сильным межэлектронным взаимодействием (например, к соединениям с тяжелыми фермионами, таким как UPd2Al3). Однако доказать это экспериментально не удавалось из-за технических проблем при измерении проводимости на частотах ниже 30ГГц.

Рис.1. Частотная зависимость действительной (σ1) и мнимой (σ2) частей удельной электрической проводимости UPd2Al3 при
T = 2.75К (эксперимент и теория).

Немецкие физики из университетов Штутгарта и Майнца, используя новый широкополосный СВЧ спектрометр, измерили комплексный коэффициент отражения тонких эпитаксиальных пленок UPd2Al3 и определили проводимость s1+is2 при
T = (1.7 ё 300)К в диапазоне частот от 45МГц до 40ГГц [1]. Оказалось, что экспериментальные данные отлично описываются формулой Друде (см. рис. 1). При этом величина s1 в низкочастотном пределе в точности совпадает со статической проводимостью, измеренной непосредственно двухконтактным методом. Единственным подгоночным параметром является время релаксации t = 4.8Ч10-11с, что по крайней мере на порядок больше известных оценок t в соединениях с тяжелыми фермионами и на несколько порядков больше, чем в обычных металлах. Полученные результаты объясняются очень просто: скорость электрон-электронной релаксации гораздо меньше скорости рассеяния электронов на дефектах, поэтому ферми-жидкостные эффекты, обусловленные электронными корреляциями, практически не влияют на частотную зависимость электрической проводимости. Для наблюдения этих эффектов (которые приводят, в частности, к квадратичной зависимости 1/t от частоты) требуются гораздо более чистые образцы.
1. M.Scheffler et al., Nature 2005, 438, 1135

[Freude]

Интересная статья, свое впечатление о ней напишу позже - надо ее хорошо вычитать.

[Sidar]

В качестве резюме для изложенного ранее можно полагать, что «формулы Друде» фактически представляют собой, прежде всего, две формулы (из трёх известных, третья формула для удельной электронной теплопроводности здесь не рассматривается), первоначально предложенные П. Друде в 1900 г. для удельной электропроводности металлов [Drude P., Zur Elektronentheorie der Metalle. - Ann. Phys., 1900, Bd. 1, S. 566] в предположении наличия свободного «электронного газа» в ионной решётке металла («модель проводимости Друде») в следующем виде [здесь электрическая проводимость обозначена символом $\gamma$, вместо $\sigma$]:

$\gamma_0 = \frac{n e^{2}\tau}{m}$ (1-1)

Для гармонических режимов воздействия электрического поля

$\dot{\gamma}(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + j \omega\tau} = \gamma’(\omega) - j \gamma''(\omega) = \frac{\gamma_0}{1+ (\omega\tau)^2} - j \frac{\gamma_0 (\omega\tau)}{1+ (\omega\tau)^2}$ (1-2)

где
$n$ – число электронов в 1 см$^{3}$,
$\omega$ – круговая частота электрического поля,
$\tau$ - время свободного пробега электронов,
$e$, $m$ – электрический заряд и масса электрона.

При комнатной температуре для электронной проводимости металлов $\tau \sim 10^{-14} - 10^{-15}$ с.

Современной модификацией формулы Друде для комплексной электрической проводимости за счёт свободных носителей заряда (в металлах, плазме, сверхпроводниках, электролитах, полупроводниках) могут служить полуэмпирические соотношения по типу формулы Друде в сочетании с принципом суперпозиции для составляющих истинной электрической проводимости, отличаюшихся по динамическим свойствам, а именно:

$\dot\gamma = \sum^{n}_{i = 1}\dot\gamma_{i}$ (2-1)


$\dot\gamma_i = \frac {1} {\frac{1}{\gamma_i} + j\omega\xi_i} = \frac{\gamma_i}{1+ (\omega\tau_i)^2} - j \frac{\gamma_{i} (\omega\tau_i)}{1+ (\omega\tau_i)^2}$ (2-2)

где
$\tau_{i} = \gamma_{i}\xi_{i}$ – постоянная времени релаксации $i$-той составляющей электрической проводимости,
$\gamma_{i}$ – $i$-тая составляющая статической удельной электрической проводимости (на постоянном токе), Ом$^{-1}$м$^{-1}$,
$\xi_{i}$ – удельная (дифференциальная) электрическая индуктивность для $i$-той компоненты электрической проводимости за счёт одного вида свободных носителей заряда , Гн$\cdot$м .

Так, например, для случая сверхпроводимости (согласно «двухжидкостной модели» Гортера-Казимира) имеем следующие зависимости в соответствии с полуэмпирическими формулами (2-1) и (2-2):

$\dot\gamma = \dot{\gamma}_s + \dot{\gamma}_n$ (3-1)

При $ \gamma_{s} = \infty $
$\dot\gamma_s = \frac {1} {\frac {1} {\gamma_s} + j\omega\xi_s} = \frac {1} {j\omega\xi_s} = - j\frac {1} {\omega\xi_s} $ (3-2)

$\dot\gamma_n = \frac {1} {\frac{1}{\gamma_n} + j\omega\xi_n} = \frac{\gamma_n}{1+ (\omega\tau_n)^2} - j \frac{\gamma_n (\omega\tau_n)} {1+ (\omega\tau_n)^2}$ (3-3)

где символами $s$ и $n$ отмечены величины, относящиеся соответственно к сверхпроводящей и нормальной компонентам электрической проводимости сверхпроводника (по «двухжидкостной модели»).

Что касается модификации «формул Друде» в виде «формул Друде-Зинера» [Друде П. Оптика. – М. – Л., 1935; Zener C., Nature 132, 1953, 968], наиболее используемых в оптике металлов, то последние непосредственно следуют из «формул Друде» для комплексной электрической проводимости при подстановке параметра $\upsilon = \frac{1}{\tau}$, встречающегося в научно-технической литературе в виде $\gamma = \frac{1}{\tau}$, $\gamma = \frac{1}{2\pi\tau}$ или $\gamma = \frac{1}{2\tau}$, что вносит несусветную путаницу, тем более вместе с использованием физиками нерационализованной системы единиц с множителем $4\pi$ или вообще сохранившихся до настоящего времени элементов «физического идиотизма» применения нестандартной системы изображения векторных величин на комплексной плоскости $e^{-i\omega t}$ (с вращением по часовой стрелке).
Впрочем, вышеупомянутый параметр имеет простой физический смысл - «критической частоты релаксации» - для рассматриваемой компонеты электрической проводимости, в соответствии с чем должен определяться и обозначаться как $\omega_{0i} = \frac{1}{\tau_{i}}$.