2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Натяжение проводника
Сообщение13.03.2021, 21:27 
Заслуженный участник


05/02/11
1248
Москва
Тонкий замкнутый проводник с током $I$ образует выпуклый плоский жёсткий контур.
Контур находится в однородном магнитном поле c индукцией $B$, линии которого
перпендикулярны плоскости контура. Длина проводника $L$.
Найти среднюю величину продольных сил натяжения проводника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение14.03.2021, 20:04 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков

(Оффтоп)

$\frac{2IBS}{cL}$, где $S$ — площадь контура, а $L$ — его длина (СГС).

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение04.04.2021, 07:37 


21/07/20
157
dovlato
О каком усреднении идет речь: по длине, по углу?
У меня не получается ответ, который привел svv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение04.04.2021, 21:56 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков

(Оффтоп)

Я усреднял по длине. Решал так.

Обозначения. Контур в плоскости $Oxy$ (горизонтальной). Магнитное поле направлено по оси $Oz$ (снизу вверх). Положительным будем считать направление обхода контура против часовой стрелки, если смотреть сверху. Введём на контуре как кривой натуральный параметр $s$, он растёт в положительном направлении обхода. Разобъём контур на кусочки. Силой натяжения $\mathbf T(s)$ на стыке (который можно обеспечить в любом месте) назовем силу, с которой следующий (в положительном направлении) кусочек действует на данный.

Рассмотрим кусочек $a\leqslant s \leqslant b$. Условие его равновесия:
$-\mathbf T(a)+\mathbf T(b)+\frac I c\int\limits_a^b d\mathbf r\times\mathbf B=0 $
Интегрируя, получим $\mathbf T(s)=\frac {IB} c\mathbf e_z\times \mathbf r(s)+\mathbf C,$ где $\mathbf C$ — постоянный вектор.
Продольная составляющая получается скалярным умножением на единичный касательный вектор $\frac{d\mathbf r}{ds}$:
$T=\frac {IB} c\mathbf e_z\cdot(\mathbf r\times \frac{d\mathbf r}{ds})+\mathbf C\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}$

При усреднении интеграл от второго слагаемого даст нуль. А в первом слагаемом сформируется ориентированная площадь контура
$S=\frac 1 2\mathbf e_z\cdot\oint \mathbf r\times d\mathbf r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение04.04.2021, 23:25 
Заслуженный участник


05/02/11
1248
Москва
Интересно. У меня на полуинтуитивном уровне, при усреднении по углу получилось$$f=\frac{ILB}{2\pi}$$ Попробую на днях это как-то обосновать.
Формула, полученная svv, по-моему, чувства несогласия не вызывает. Действительно, если взять, например, очень узкий прямой контур, с площадью, стремящейся к нулю, то и сила натяжения в нём, усреднённая по длине, будет также стремиться к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение04.04.2021, 23:40 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков
Ну, и для контура-окружности у нас получается совпадение: мои $\frac {2S}L$ равны Вашим $\frac L{2\pi}$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 07:21 
Заслуженный участник


05/02/11
1248
Москва
Да. А на прямоугольниках уже различаются - но снова так, как и должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 11:39 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Что-то у меня не складывается. Если взять прямоугольник и усреднить силу натяжения по длине, то у меня получается другой коэффициент.
Правильно ли усреднять силу натяжения, как скалярное произведение $\int \mathbf T d\mathbf r$?
Получается, что если, скажем, в двух одинаковых по величине, но противоположно направленных элементах контура действует одинаковая сила натяжения, то средняя сила равна нулю, но это ведь не правильно.
Тут, правда, еще с направлением силы натяжения надо аккуратно разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 12:41 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков
AnatolyBa
Поделим наш контур на кусочки, получится такой замкнутый поезд из вагончиков. Номера вагонов растут против часовой стрелки, глядя сверху. Сила, с которой четвёртый вагон действует на пятый, и сила, с которой пятый вагон действует на четвёртый, противоположны. Какую из них считать силой натяжения? Я принял, что $\mathbf T_n$ — это сила, с которой $(n+1)$-й вагончик («следующий») действует на $n$-й («данный»). В случае круглого контура при надлежащем выборе направления магнитного поля и тока все $\mathbf T_n$ будут направлены против часовой стрелки, как и $d\mathbf r$, так что усреднение не даст нуль. А то, что ищется именно продольная компонента — это по условиям задачи:
dovlato в сообщении #1509091 писал(а):
Найти среднюю величину продольных сил натяжения проводника.
$\mathbf T\cdot d\mathbf r=T_\parallel d\ell$

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 17:24 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.
Предложу свой вариант решения.

(Оффтоп)

Изображение

Контур рассекается на узкие прямые полосы. Пусть длина полосы $i$ будет $L$, ширина - $h$.

Сила $F$, действующая на $L$ (по рисунку) сверху, равна, очевидно, силе, приложенной к отрезанной верхней части контура -- $IBL$.

Произведение проекции этой силы на направление отрезка контура, вырезанного полосой, т.е. на $ab$, на длину этого отрезка равно, очевидно, $hF.$

Проходя так весь контур "поперёк" складывая $hF_i$ и деля сумму на длину контура, можно сразу получить половину ответа svv. Вторую половину - при таком же проходе "вдоль".

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 18:22 
Заслуженный участник


21/09/15
998
А понял.
AnatolyBa в сообщении #1512904 писал(а):
Если взять прямоугольник и усреднить силу натяжения по длине, то у меня получается другой коэффициент

Я там в вычислениях ошибся, не разделил на два в одном месте. Отсюда и дальнейшие смущения

-- 05.04.2021, 18:24 --

Спасибо svv

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 20:17 


21/07/20
157
Задача оказалась деликатной. Особенность, на мой взгляд, состоит в том, что контур жесткий и потому, только тангенциальные силы натяжения не обеспечивают равновесия. Условие равновесия уважаемый svv записал для полных механических напряжений и потом чудесным образом ему удалось выразить среднюю тангенциальную силу. Спасибо dovlato и svv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение05.04.2021, 22:12 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков
Спасибо всем участникам за обсуждение. Задача и вправду хороша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение06.04.2021, 22:24 
Заслуженный участник


05/02/11
1248
Москва
При усреднении по углу у меня вот что выходит.
Возьмём произвольный единичный направляющий вектор $\mathbf n$, и проведём две касательные, параллельные $\mathbf n$, так что весь контур окажется между ними. Обозначим $h=h(\mathbf n)$ расстояние между этими касательными.
Пусть точки соприкосновения A и B. Найдём силу $\mathbf f$, с которой магнитное поле действует на любую из двух частей контура, лежащей между A и B:$$d\mathbf f=Id\mathbf r\times\mathbf B,$$ $$\mathbf f=I\mathbf r\times\msthbf B$$ Здесь $\mathbf r=\mathbf r_B-\mathbf r_A.$ Сумма продольных составляющих, действующие в A и B $$f_n=I\mathbf n[\mathbf r,\mathbf B]=I\mathbf B[\mathbf n,\mathbf r]=IBh(\mathbf n)$$ Учитывая, что при повороте $\mathbf n$ на угол $d\alpha$ точки соприкосновения A и B в сумме пройдут расстояние $dL=h(\mathbf n)d\alpha$, получим, что при усреднении по углу $\alpha$ от 0 до $\pi$ сила натяжения равна $$f_a=\frac{ILB}{2\pi}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Натяжение проводника
Сообщение07.04.2021, 00:47 


20/04/10
1231
Русь
svv в сообщении #1509247 писал(а):
$\frac{2IBS}{cL}$, где $S$ — площадь контура, а $L$ — его длина (СГС).

Вроде это очевидно -- средняя тангенциальная сила пропорциональна среднему "диаметру" контура, то есть $\langle T\rangle =\frac{1}{2c} I B\langle d\rangle $, где $\langle {d}\rangle =4S/L$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group