Определите напряженность поля в произвольной точке.

[Kevsh]

Две большие параллельные плоскости равномерно заряженные с поверхностными плотностями $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Расстояние между плоскостями $d$ много меньше их линейных размеров. Условие: $\sigma_1 = \sigma$, $\sigma_2 = -\sigma$.
Я решил сделать все через теорему Остроградского-Гаусса. Вспомогательной плоскостью решил выбрать две равноудаленные квадратные плоскости с площадью $a^2$. У меня ноль стоит под первой плоскостью, вторая, соответсвенно, имеет координату $d$. Векторы $E$ расположены таким образом: на участке от минус бесконечности до нуля $E_1$ направлен влево, а $E_2$ вправо. Между плоскостями они сонаправлены вправо. На промежутке от $d$ до плюс бесконечности $E_1$ направлен вправо, а $E_2$ направлен влево.
Первый случай, который я рассмотрел: ситуация, когда x расположен далеко слева, там охваченный $Q$ равен нулю, так как заряды одинаковы по модулю и противоположны.
Вот далее у меня и происходит расхождение с ответом. Я рассмотрел ситуацию, когда икс лежит на промежутке от $-d$ до нуля. Тогда, если рассматривать первую плоскость отдельно, $E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, ведь на этом промежутке мы еще не захватываем заряд второй пластины. Если на этом промежутке рассматривать вторую пластину, то там все еще захватываются обе пластины, так что $E_2$ все еще равен нулю, вот и получается у меня, что на этом промежутке $E = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (учитывая направление $E_1$).
Между плоскостями векторы сонаправлены, при этом $E_1$ и $E_2$ одинаковые по модулю, но разные по знаку, следовательно, на этом промежутке $E = 0$.
Дальше все делал по такому же принципу. Посмотрел в ответ - там вообще рассматривают три промежутка, от минус бесконечности до первой плоскости, между плоскостями, и от второй плоскости до бесконечности. Причем напряженность между плоскостями у них не равна нулю, она равна $\frac{\sigma}{\varepsilon}$, это значит, что значения $E_1$ и $E_2$ они складывали, следовательно, похоже, векторы эти у них не сонаправлены, непонятно почему. Помогите, пожалуйста, я не понимаю, что я делаю не так.

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1508995 писал(а):

Я решил сделать все через теорему Остроградского-Гаусса.

Можете её сформулировать без учебника?

[Kevsh]

realeugene в сообщении #1509003 писал(а):

Kevsh в сообщении #1508995 писал(а):

Я решил сделать все через теорему Остроградского-Гаусса.

Можете её сформулировать без учебника?

Поток через замкнутый контур равен числу силовых линий напряженности, проходящих через этот контур.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1508995 писал(а):

Между плоскостями векторы сонаправлены, при этом $E_1$ и $E_2$ одинаковые по модулю, но разные по знаку, следовательно, на этом промежутке $E = 0$.

Это как?
Насколько понимаю, "сонаправлены" означает, что направлены вдоль какого-то, но одного и того же вектора: $\vec{E_1} = E_1 \vec{e}$, $\vec{E_1} = E_1 \vec{e}$. Где $\vec{e}$ - какой-то вектор единичной длины, а $E_1$ и $E_2$ - больше нуля.
Тогда суммарная напряженность в точке, где $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ сонаправлены будет равна: $\vec{E_\Sigma} = \vec{E_1} +\vec{E_2} = (E_1+E_2) \vec{e}$

Ноль в этом случае ну никак не получается. Ноль получится, когда напряженности противонаправлены и равны по модулю.

Может уже будете рисовать картинки? Они помогают.

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1509008 писал(а):

Поток через замкнутый контур

Через что? Не через контур, а через замкнутую поверхность.

А теперь расскажите, как вы считате этот поток для первого случая?

[Kevsh]

Я вот не очень, видимо, понимаю, когда мы находим $E$ из ТОГ, мы получаем вектор, или модуль вектора? Просто как я рассуждал: $E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, $E_2 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, векторы при этом наравлены в одну сторону(см. рисунок), но вот я их и сложил, получив 0.
Еще попробовал использовать не две плоскости, а одну, но сразу же появился вопрос, какой заряд в таком случае считается охваченным. Правильно ли я понимаю, что нужно использовать обязательно 2 плоскости?

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1509022 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что нужно использовать обязательно 2 плоскости?

Поверхность обязательно должна быть замкнутая. Нужно использовать не "две плоскости", а какой-нибудь параллелепииед. А дальше поток через некоторе его грани окажется нулевым и не войдёт в сумму. Или не окажется и войдёт.

[Kevsh]

realeugene в сообщении #1509019 писал(а):

Kevsh в сообщении #1509008 писал(а):

Поток через замкнутый контур

Через что? Не через контур, а через замкнутую поверхность.

А теперь расскажите, как вы считате этот поток для первого случая?

Я нашел охваченных параллелепипедом заряд: охваченны будут обе плоскости, ну тогда $Q = Q_1 + Q_2 = \sigma a^2 + (-\sigma a^2) = 0$, если охваченный заряд равен нулю, то и $E_1 = 0$. Также сделал и для второй плоскости, для нее на этом участке тоже $E_2 = 0$, следовательно $E = 0$

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1509027 писал(а):

то и $E = 0$.

Расскажите-ка про этот ваш логический переход.

[Kevsh]

realeugene в сообщении #1509028 писал(а):

Kevsh в сообщении #1509027 писал(а):

то и $E = 0$.

Расскажите-ка про этот ваш логический переход.

Я немного изменил свое предыдущее сообщение, чуток неправильно написал изначально, посмотрите, пожалуйста. Про этот логический переход: $\oint_S^{}EdS = \frac{\Sigma Q}{\varepsilon_0}$, $2Ea^2 = \frac{\Sigma Q}{\varepsilon_0}$, площадь у нас точно не нулевая, тогда $E = 0$

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1509031 писал(а):

$\oint_S^{}EdS = \frac{\Sigma Q}{\varepsilon_0}$

У вас напряженность - скаляр, а, на самом деле, она вектор. У вас напряженность всюду постоянна, а, на самом деле, она в разных точках разная. Две ошибки.

То есть, всё свелось к неумению интегрировать по поверхности. Вы школьник или студент?

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1509022 писал(а):

видимо, понимаю, когда мы находим $E$ из ТОГ, мы получаем вектор, или модуль вектора?

1. Мы ищем, конечно, вектор $\vec{E}$ - эта наша цель.

2. Для некоторых, специальных случаев с высокой симметрией (равномерно заряженная бесконечная плоскость, равномерно заряженная бесконечная нить, равномерна заряженная сфера) мы можем сделать такой финт:
а) сначала из соображений симметрии понять, что для некоторых специальных замкнутых поверхностей (форма которых вполне очевидна для каждого из трех случаев), вектор $\vec{E}$ направлен перпендикулярно этой поверхности в каждой точке поверхности, а модуль его одинаков.
б) и уже потом, вооружившись этим сакральным знанием, применить теорему Остроградского-Гаусса для вычисления значения модуля напряженности.

3. А потом из этих случаев можно конструировать разные задачи, где напряженность равна сумме (векторной, конечно) напряженностей от таких случаев.

[Kevsh]

realeugene в сообщении #1509032 писал(а):

Kevsh в сообщении #1509031 писал(а):

$\oint_S^{}EdS = \frac{\Sigma Q}{\varepsilon_0}$

У вас напряженность - скаляр, а, на самом деле, она вектор. У вас напряженность всюду постоянна, а, на самом деле, она в разных точках разная. Две ошибки.

То есть, всё свелось к неумению интегрировать по поверхности. Вы школьник или студент?

Я студент первого курса, но интегрировать по поверхности еще не умею, нам говорят, что тут можно и без этого, ну и все задачи до этой без проблем без этого решались.
$\oint_S^{}\overline{E} \cdot \overline{dS}$. Вы говорите про эти векторы?
Тут все веткторы $\overline{E}$ перпендикулярны сторонам моего параллелепипеда, поэтому я все и раскрываю это как $E \cdot 2a^2 \cdot \cos{0} = 2Ea^2$

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1509035 писал(а):

Я студент первого курса, но интегрировать по поверхности еще не умею, нам говорят, что тут можно и без этого, ну и все задачи до этой без проблем без этого решались.

Да, для решения этой задачи достаточно знать только про частный случай такого интеграла: когда поверхность состоит из плоских граней, причём, на каждой грани вектор напряженности поля постоянен. В этом случае поток через одну грань равен $\vec E \cdot \vec n S$, где $\vec n$ - единичный вектор нормали к грани, $S$ - площадь грани. Поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через все грани, образующие эту поверхность, при этом, нормали должны быть направлены наружу.

Kevsh в сообщении #1509035 писал(а):

Тут все веткторы $\overline{E}$ перпендикулярны сторонам моего параллелепипеда

Нет. И не всем граням перпендикулярны, и $\vec E$ разные снаружи плоскостей и между ними.

[Kevsh]

Да, двум сторонам векторы напряженности параллельны, там поток нулевой, я его даже не рассматривал просто. Теперь про сумму потоков через замкнутую поверхность. Попробую посчитать иначе: $-E_1a^2 + E_2a^2 + E_1a^2 - E_2a^2 = 0$, то есть я считал векторы на 1-м и 3-м промежутках, так поток равен нулю, при этом я считаю его не относительно какой-то плоскости, а просто поставил центр параллелепипеда в точку  $d/2$ и двигал его стороны от бесконечностей до наших плоскостей. Но как таким образом посчитать напряженность между плоскостями?