2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как найти сумму ряда?
Сообщение12.03.2021, 17:01 


01/03/20
46
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n^4+n^2+1)}$$
Знаю только два стандартных способа нахождения суммы ряда:

1. По определению, как предел частичных сумм. Иногда получается увидеть закономерность и вывести формулу для $n$-ой частичной суммы. Безуспешно пытался найти закономерность и получить формулу.

2. Подобрать функцию так, чтоб это был ее ряд Тейлора при каком-то $x=x_0$. Так, например, можно показать, что $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+... = \ln 2$$Но, судя по вычислениям в wolfram alpha, соответствующий ряд Тейлора определяет функцию, которая не выражается в элементарных.

Какие еще есть методы нахождения суммы ряда? Подскажите, в каком направлении искать.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.03.2021, 18:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23578
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.03.2021, 00:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23578
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 00:34 


01/03/20
46
Заметил, что
$$n^4+n^2+1=(n^2-n+1)(n^2+n+1)=(n^2-n+1)((n+1)^2-(n+1)+1),$$
поэтому
$$
\frac{1}{n^4+n^2+1}= \frac{1}{2n} \cdot \left( \frac{1}{n^2-n+1} - \frac{1}{(n+1)^2-(n+1)+1}\right)
$$
Хотелось бы, чтоб что-то соседнее сократилось, но не пойму как дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 03:48 
Заслуженный участник


20/08/14
8391
Россия, Москва
ВольфрамАльфа пренебрёг скобкой в знаменателе и посчитал сумму лишь с факториалом. Что впрочем понятно, ведь для больших $n$ выполняется $n!\gg(n^4+n^2+1)$ и соответственно $n!(n^4+n^2+1)\approx n!$. (UPD: не прав.) Вопрос с началом суммы (при малых $n$) и доказательством перехода остаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 04:56 
Заслуженный участник


04/05/09
4539
IvanX, подход правильный. Теперь объедините подходящие слагаемые из соседних итераций (не забыв про факториалы), и ряд заметно упростится. Потом проделать аналогичную операцию ещё раз, и станет совсем хорошо.

-- Сб мар 13, 2021 21:11:26 --

Dmitriy40 в сообщении #1509125 писал(а):
ВольфрамАльфа пренебрёг скобкой в знаменателе
Почему вы так решили? Как вы думаете, откуда Вольфрам взял двойку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 05:37 
Заслуженный участник


20/08/14
8391
Россия, Москва
Да, был не прав, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 07:59 


16/04/18
842
Wolfram Alpha даёт совсем простой ответ: e/2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group