Закон Бернулли - не понимаю

[epros]

wxthplvl65 в сообщении #1508085 писал(а):

Надо начинать с самых низов - с распространения волны плотности в трубе.

А почему бы это должна быть волна? Если поток стационарный, то ни давление, ни плотности никуда не распространяются. Кстати, если жидкость несжимаемая, то плотность везде одинакова (а если сжимаемая, то закон Бернулли имеет ограниченное применение).

[DimaM]

epros в сообщении #1508086 писал(а):

(а если сжимаемая, то закон Бернулли имеет ограниченное применение)

Для сжимаемой закон Бернулли вполне применяется, просто в общем случае вместо давления стоит энтальпия единицы объема.

[chislo_avogadro]

Некоторые подводные камни описаны здесь -

Осторожно: уравнение Бернулли!

[DimaM]

chislo_avogadro
Мутно и с ошибкой (в комментариях про трубу верно указано).
Кстати, для безвихревого течения уравнение применимо глобально, а не только вдоль линии тока.

[VASILISK11]

Как-то непонятно, с этим уравнением. Ну откуда, в несжимаемой жидкости может взяться энергия на ускорение объёма жидкости? Как-бы мы не сжимали или растягивали несжимаемую жидкость, энергия не меняется, потому что нет работы. Поэтому, по-моему, нельзя разогнать, в длинной тонкой игле шприца, всю жидкость больше, чем по формуле Торричелли, потому что будет нарушаться закон сохранения энергии. На каком-то небольшом участке можно, но не всю жидкость, а сумма кинетической энергии жидкости должна равняться работе, проделанной поршнем шприца.
Возможно ошибаюсь - заранее благодарю за объяснение.

[epros]

VASILISK11 в сообщении #1508262 писал(а):

Ну откуда, в несжимаемой жидкости может взяться энергия на ускорение объёма жидкости?

Наверное, оттуда же, откуда и давление. И причём здесь сжимаемость?

VASILISK11 в сообщении #1508262 писал(а):

должна равняться работе, проделанной поршнем шприца.

Ну и в чём проблема?

[VASILISK11]

epros в сообщении #1508268 писал(а):

Наверное, оттуда же, откуда и давление. И причём здесь сжимаемость?

Давление несжимаемой жидкости никак не может совершать работу. Работу совершают внешние силы или поле силы тяжести. То есть, поршень в шприце, а не отрицательное давление внутри иглы. Поэтому работа поршня должна равняться кинетической энергии жидкости, а давление вообще выпадает из энергетического баланса.
Иными словами - уравнение Бернулли имеет ограниченную область действия.

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1508262 писал(а):

Как-то непонятно, с этим уравнением. Ну откуда, в несжимаемой жидкости может взяться энергия на ускорение объёма жидкости?

Это очень сильное заблуждение. Энергия в потоке жидкости так и прёт. В том смысле, что в жидкости давление $p$ всегда положительное, и когда у нас поток жидкости течёт через некоторую фиксированную двумерную площадку площади $S$ слева направо, он через эту площадку переносит обычную механическую энергию, мощность которой равта $P=pSv$. Именно эта энергия пекредается в пневмо- и гидроинструментах от компрессора к инструменту.

На самом деле, любопытно расмотреть пример цистерны с бензином, едущей равномерно и прямолинейно по горизонтальным рельсам. Как направлены потоки энергии внутри бензина и внутри стенок цистерны? Энергия сохраняется, безусловно, но как при этом цитркулируют потоки энергии?

[VASILISK11]

realeugene в сообщении #1508273 писал(а):

Это очень сильное заблуждение. Энергия в потоке жидкости так и прёт. В том смысле, что в жидкости давление $p$ всегда положительное, и когда у нас поток жидкости течёт через некоторую фиксированную двумерную площадку площади $S$ слева направо, он через эту площадку переносит обычную механическую энергию, мощность которой равта $P=pSv$. Именно эта энергия пекредается в пневмо- и гидроинструментах от компрессора к инструменту.

Это кинетическая энергия, а энергии давления жидкости в этой схеме нет, о чем я и говорю. Разница давлений ускоряет выделенный объем жидкости, так получается формула Бернулли, но само давление не участвует в суммарном балансе энергии. Нельзя получить суммарную кинетическую энергию жидкости больше, чем было потрачено энергии внешних сил или изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести.

[amon]

VASILISK11 в сообщении #1508274 писал(а):

Это кинетическая энергия, а энергии давления жидкости в этой схеме нет

А никакой другой энергии у идеальной несжимаемой жидкости и нет. Точная формула для плотности потока энергии несжимаемой идеальной жидкости

$$\mathbf{W}=\rho\mathbf{v}\left(\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}\right)$$

Для гидравлических машин, когда скорость потока мала, вторым членом можно пренебречь. Все это вместе равно изменению кинетической энергии единицы объема

$$\frac{\partial}{\partial t}\int dV\frac{\rho v^2}{2}=\int dV\operatorname{div}\left(\rho\mathbf{v}\left(\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}\right)\right).$$

Получается эта штука из уравнения движения жидкости, которое учитывает, в том числе, и работу градиента давления.

[sergey zhukov]

VASILISK11
Можно понимать так. У любого выделенного обьема есть внутреннее давление. Это внутреннее давление и есть та потенциальная энергия этого объема, при помощи которой этот обьем может ускоряться. Забыли про градиент давления и говорим так: энергия внутреннего давления элемента жидкости преобразуется в кинетическую энергию и наоборот. Чем больше давление внутри элемента, тем потенциально до более высокой скорости он может разогнаться. Он как-бы сам себя ускоряет.

Только никаких отрицательных давлений. Давление всегда положительно. Поэтому элемент жидкости может ускоряться только до тех пор, пока его давление не упадет до нуля.

Уравнение Бернулли не работает тогда, когда энергия выделенного обьема не сохраняется, т.е. в жидкости с трением. А в остальных случаях - работает.

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1508274 писал(а):

Это кинетическая энергия, а энергии давления жидкости в этой схеме нет, о чем я и говорю. Разница давлений ускоряет выделенный объем жидкости, так получается формула Бернулли, но само давление не участвует в суммарном балансе энергии. Нельзя получить суммарную кинетическую энергию жидкости больше, чем было потрачено энергии внешних сил или изменения потенциальной энергии жидкости в поле тяжести.

Это неверно. Точнее, местами верно, местами неверно, но в целом неправильно. Закон сохранения энергии для сплошной среды можно сформулировать следующим образом: скорость изменения полной энергии, заключённой внутри некоторого выделенного неподвижного объёма пространства, равна суммарному потоку энергии через (неподвижную) поверхность, ограничивающую этот объём пространства. Давление в частности и тензор напряжений вообще при этом связаны с законом сохранения энергии не вполне очевидным образом. Они вносят вклад в поток энергии через ограничивающую рассматриваемый объём поверхность, если через эту поверхность есть поток вещества, не внося при этом никакого непосредственного вклада в энергиию, заключённую (в веществе) внутри этой поверхности.

Рассмотрите, например, невесомую нерастяжимую верёвку. Допустим, вы при помощи этой верёвки тащите по асфальту кирпич. Стоит грохот, выделяется тепло. В звук и тепло переходит энергия, которую вырабатывают ваши мышцы. Но где мышцы, и где кирпич? Как эта механическая энергия передаётся от ваших мышц к кирпичу? Она передаётся через верёвку. Внутри верёвки существует поток энергии от одного конца верёвки к другому. Но сама верёвка невесомая и нерастяжимая, то есть, никакой энергии, которую можно было бы связать с каждым метром этой верёвки, сказав, что верёвка этой энергией обладает, нет.

sergey zhukov в сообщении #1508279 писал(а):

Можно понимать так. У любого выделенного обьема есть внутреннее давление. Это внутреннее давление и есть та потенциальная энергия этого объема

Нельзя понимать так. Давление - это не энергия, которой обладает какой бы то ни было объём чего бы то ни было.

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии для неподвижной трубки тока в стационарном потоке, и это принципиально важно. Конечно, если поток стационарный, то трубка тока неподвижна, но лучше это акцентировать. В случае неподвижной трубки тока нет никакого потока энергии через боковые стенки трубки, и если поток жидкости стационарный, полная энергия, заключённая внутри этой трубки тока, сохраняется во времени. Так что, для такого и только такого случая, закон сохранения энергии сводится к следующей формулировке: энергия, входящая в единицу времени во входное сечение трубки тока, равна энергии, выходящей в единицу времени из этой трубки на выходе. И при переносе этой энергии через вход и выход нужно учитывать работу сил давления наряду с энергией, содержащейся "внутри" текущей жидкости.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1508279 писал(а):

У любого выделенного обьема есть внутреннее давление. Это внутреннее давление и есть та потенциальная энергия этого объема, при помощи которой этот обьем может ускоряться.

Это неверно. Давление в законе Бернулли относится к работе внешних сил, а не к внутренней энергии. Внутреннюю энергию (в случае сжимаемой жидкости) нужно добавить отдельно.

[epros]

VASILISK11 в сообщении #1508269 писал(а):

Давление несжимаемой жидкости никак не может совершать работу.

Что бы эти слова могли значить и откуда они взялись?

VASILISK11 в сообщении #1508269 писал(а):

Работу совершают внешние силы или поле силы тяжести. То есть, поршень в шприце, а не отрицательное давление внутри иглы.

Скажу по секрету: Давление внутри шприца - и есть то давление, которое создаётся поршнем.

VASILISK11 в сообщении #1508274 писал(а):

Это кинетическая энергия, а энергии давления жидкости в этой схеме нет, о чем я и говорю.

"Энергия давления" - нормальными словами, это потенциальная энергия, которая равна силе, действующей на элемент жидкости, умноженной на расстояние, пройденное этим элементом жидкости. А сила, действующая на элемент жидкости, определяется разностью давлений.

[VASILISK11]

Попробую объяснить свою точку зрения конкретным примером:
Предположим, что у нас есть большая емкость с несжимаемой жидкостью (бак), из которого выходит трубка произвольной конфигурации. На конце трубки задвижка. Трубка и часть бака заполнены жидкостью, разница давлений внутри бака и снаружи бака $P$.
Мы резко открываем задвижку. Через некоторое время переходного процесса, из бака начнет вытекать жидкость, с постоянным объемным расходом $Q_m$ и со скоростью, которая однозначно зависит от $P$. Жидкость в трубке и баке движется, ее кинетическую энергию запишем как $E_m$.
Запишем закон сохранения энергии для переходного процесса, когда расход жидкости $Q$ меняется во времени:
$QP(1-\frac{Q^2}{Q_m^2})dt=d(E_m\frac{Q^2}{Q_m^2})=E_m\frac{2Q dQ}{Q_m^2}$
$\frac{Q_mP}{E_m}dt=\frac{2dQ}{Q_m(1-\frac{Q^2}{Q_m^2})}$
$Q=Q_m\tanh{\frac{Q_mPt}{E_m}}
Физический смысл этой формулы в том, что, если слив, например, в виде трубки, то расход не мгновенно увеличится до максимального, а за, приблизительно, время, необходимое жидкости для прохождения этой трубки. Если есть участок сужения трубки, то это время увеличится, потому что увеличится $E_m$, хотя скорость жидкости, на этом участке, тоже увеличиться.
Уравнение Бернулли будет выполняться и в переходный период, но давление $P_1(t)$, в какой-то точке бака или трубки, зависит от расхода $Q(t)$, а не наоборот.
Все правильно?