Идеально фокусирующая поверхность

[Mihr]

Найти форму преломляющей поверхности, которая излучение точечного источника света обратит в точности в параллельный пучок лучей. (Из обратимости хода световых лучей следует, что параллельный пучок света такая поверхность соберёт строго в одну точку - в приближении геометрической оптики, разумеется).
Считаем заданными оптическую плотность $n$ материала линзы и фокусное расстояние $f$ линзы. Под фокусным расстоянием в рамках данной задачи будем понимать расстояние от фокуса линзы до ближайшей точки преломляющей поверхности (её вершины), то есть, длину отрезка $OA$ - см. рис.
Линза подразумевается плоско-выпуклой, так что, если источник света помещён в главный фокус, то преломление света происходит лишь на одной (выпуклой) поверхности.

[Sender]

Неужто получается гиперболоид инженера Гарина?

[Emergency]

Почему бы на экзамене не рассчитать сразу объективы Тессар и Планар, которые рассчитал и запатентовал Пауль Рудольф в начале прошлого века? Ведь они решали гораздо больше задач - отсутствие хроматических аберраций и геометрических искажений. :)

-- 20.02.2021, 16:47 --

Sender в сообщении #1505841 писал(а):

Неужто получается гиперболоид инженера Гарина?

У Гарина на самом деле был параболоид (если не врут).

[Mihr]

Sender в сообщении #1505841 писал(а):

Неужто получается гиперболоид

Да. А его параметры указать сможете?

Emergency в сообщении #1505842 писал(а):

У Гарина на самом деле был параболоид (если не врут).

Врут. Алексей Толстой не ошибся. Нужен именно гиперболоид.

[arseniiv]

Так у него же не линза была, а параболическое зеркало. А «гиперболоид», как говорят, он выбрал специально потому что звучит более гиперболическо.

А в этой задаче я тоже заподозрил гиперболоид, но не успел ничего посчитать.

[Mihr]

arseniiv в сообщении #1505845 писал(а):

Так у него же не линза была, а параболическое зеркало.

Возможно. Плохо помню. Уверен лишь, что здесь нужен именно гиперболоид вращения (точнее, фрагмент одной из "половин" двуполостного гиперболоида вращения).

arseniiv в сообщении #1505845 писал(а):

Я тоже заподозрил гиперболоид, но не успел ничего посчитать.

Так ведь ответ, по сути, ещё не прозвучал Попробуйте выяснить, чему равны эксцентриситет соответствующей гиперболы (задающей поверхность вращения) и её вещественная полуось. Ну, или назовите обе полуоси. Кому как удобно.

[Sender]

Mihr в сообщении #1505844 писал(а):

Да. А его параметры указать сможете?

Какие-то некрасивые получаются выражения, наверное, ошибся где-то. Отношение полуосей $\sqrt{n^2-1}$ получается.

[Mihr]

Sender в сообщении #1505850 писал(а):

Отношение полуосей $\sqrt{n^2-1}$ получается.

У меня получилось так же. Посчитайте эксцентриситет, может, Ваше мнение насчёт "некрасивого" выражения изменится.

[Sender]

Так, большая полуось $\frac{f}{n+1}$, эксцентриситет $n$. Действительно, довольно симпатично. Кстати, идея очень простая: я вспомнил про принцип Ферма и предположил, что оптические пути всех лучей от фокуса до задней поверхности линзы одинаковы.

-- Вс фев 21, 2021 00:28:33 --

И лучи собираются в фокусе гиперболы. Безупречно.

[Mihr]

Sender в сообщении #1505871 писал(а):

большая полуось $\frac{f}{n+1}$, эксцентриситет $n$

Sender в сообщении #1505871 писал(а):

И лучи собираются в фокусе гиперболы.

У меня такой же результат.

-- 21.02.2021, 08:31 --

Стоит также отметить, что толщина линзы (на рисунке обозначена $h$) может быть произвольной. От выбора её значения преломляющее свойство линзы не зависит.

[Emergency]

Асферическая оптика имеет место в некоторых объективах, но она сложнее в изготовлении и, соответственно, дороже сферической.

[Mihr]

Emergency, это ведь всего лишь задача, разминка для ума. А не предложение изготавливать "гиперболические линзы"

[realeugene]

Emergency в сообщении #1505875 писал(а):

Асферическая оптика имеет место в некоторых объективах, но она сложнее в изготовлении и, соответственно, дороже сферической.

Если линза пластиковая литая, как в каких-нибудь CD приводах, то не дороже. Попадался когда-то каталог каких-то стандартных асферических линз для лазерной техники какого-то японского производителя.

[Emergency]

realeugene в сообщении #1505927 писал(а):

Если линза пластиковая литая...

Понятно, что пластмассовые линзы дешевле стеклянных, особенно лантановых.

[DimaM]

Надо в пару противоположную задачку: параллельный пучок падает на кривую поверхность и собирается в точку с другой стороны. Найти форму поверхности.