2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 08:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Найти сферически симметричное распределение плотности электрического заряда, при котором потенциал электростатического поля в каждой точке пространства пропорционален объёмной плотности заряда в этой точке: $\varphi(r)=\alpha\rho(r)$, где $\alpha=\operatorname{const}$. Плотность заряда $\rho(r)$ всюду конечна.

-- 20.02.2021, 09:19 --

Пожалуй, стоит добавить, что задача несложная, практически стандартная. Интересна она лишь своим неожиданно красивым ответом (во всяком случае, мне он показался красивым).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:18 
Заслуженный участник


21/09/15
998
А я стандартным способом решить не справился. Пришлось решать нестандартно. Очень понравилось.
(Поначалу даже хотел как-то по-школьному решить. Не случилось)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:38 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
Mihr в сообщении #1505790 писал(а):
Плотность заряда $\rho(r)$ всюду конечна.


Совсем всюду или всюду, кроме центра?
Если второе, то да, ответ получается компактным, можно сказать красивым.
А если первое, то кроме тривиального нуля вроде бы ничего и нет.

-- 20.02.2021, 12:39 --

AnatolyBa в сообщении #1505804 писал(а):
А я стандартным способом решить не справился.

А я в стандартном (может быть даже в школьном) способе попросил Wolfram решить диффур :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:51 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
EUgeneUS в сообщении #1505807 писал(а):
А если первое, то кроме тривиального нуля вроде бы ничего и нет.

В центре можно доопределить вторую функцию ее пределом, который конечен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
AnatolyBa, но ведь там просто возникает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Решаем его. Это, вроде, стандартный путь?
AnatolyBa в сообщении #1505804 писал(а):
Пришлось решать нестандартно.

Покажете своё решение? Очень интересно: как можно решить по-другому?

EUgeneUS в сообщении #1505807 писал(а):
Совсем всюду или всюду, кроме центра?

Совсем-совсем. Вообще, конечно, возникает разрывная в нуле функция, но с устранимым разрывом. Доопределяем её по непрерывности. Вот и всё.
Тривиальное (нулевое) решение я, конечно, не имел в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:54 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
EUgeneUS в сообщении #1505807 писал(а):
А я в стандартном (может быть даже в школьном) способе попросил Wolfram решить диффур

Да это ж тривиальное стационарное уравнение Шредингера с нулевой потенциальной энергией в сферически-симметричном случае ;).

-- 20.02.2021, 16:59 --

Mihr
Интересно добавить условие $\rho=0$ при $r\ge R$. Тогда получается счетное множество решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:00 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
DimaM
У меня получилось, что в центре бесконечность.

(Оффтоп)

$\varphi(r) = C \frac{e^{-\sqrt{\frac{4 \pi}{\alpha}}r}} {r}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:07 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
EUgeneUS в сообщении #1505814 писал(а):
У меня получилось, что в центре бесконечность.

В вашей функции вместо $\alpha$ должно быть $-\alpha$. При $\alpha>0$ (это условие Mihr забыл указать) из двух решений в числителе собирается синус, и предел в центре конечен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:08 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Дабы не было сомнений

(Оффтоп)

$\frac{\sin(\sqrt{4\pi \alpha}r)}{r}$

А про Вольфрам я не подумал. Но сейчас посмотрел, что он предлагает - и таки да, есть решение, если внимательно посмотреть

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:11 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
DimaM в сообщении #1505812 писал(а):
Интересно добавить условие $\rho=0$ при $r\ge R$. Тогда получается счетное множество решений.

То есть появляется ограничение на возможные значения $\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:11 
Заслуженный участник


21/09/15
998

(Оффтоп)

А я обратил внимание, что получается уравнение Шредингера для свободной частицы и проинтегрировал волну по всем направлениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
DimaM в сообщении #1505812 писал(а):
Интересно добавить условие $\rho=0$ при $r\ge R$. Тогда получается счетное множество решений.

Если задачу начинают варьировать, значит, она чем-то интересна. Это приятно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:12 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
AnatolyBa в сообщении #1505818 писал(а):
Дабы не было сомнений

Должна быть $\alpha$ в знаменателе, и еще можно произвольный коэффициент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:15 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Так. DimaM уже написал про Шредингера. Извините не заметил .

-- 20.02.2021, 13:20 --

Mihr в сообщении #1505811 писал(а):
но ведь там просто возникает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Решаем его

Ну так смотрел я смотрел на это уравнение. И не решил :oops: . А лезть в справочники поленился.

-- 20.02.2021, 13:23 --

DimaM в сообщении #1505823 писал(а):
Должна быть $\alpha$ в знаменателе, и еще можно произвольный коэффициент

Произвольный коэффициент, да, а зачем тогда $\alpha$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:27 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
AnatolyBa в сообщении #1505824 писал(а):
Произвольный коэффициент, да, а зачем тогда $\alpha$ ?

$\alpha$ в аргументе синуса, а коэффициент снаружи.
Просто у вас (как и у меня вначале) получилось решение немного другого уравнения
$$\nabla^2\varphi=-4\pi\alpha\varphi,$$
а на самом деле оно такое
$$\nabla^2\varphi=-\frac{4\pi}{\alpha}\varphi.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group