2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 08:26 
Аватара пользователя
Найти сферически симметричное распределение плотности электрического заряда, при котором потенциал электростатического поля в каждой точке пространства пропорционален объёмной плотности заряда в этой точке: $\varphi(r)=\alpha\rho(r)$, где $\alpha=\operatorname{const}$. Плотность заряда $\rho(r)$ всюду конечна.

-- 20.02.2021, 09:19 --

Пожалуй, стоит добавить, что задача несложная, практически стандартная. Интересна она лишь своим неожиданно красивым ответом (во всяком случае, мне он показался красивым).

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:18 
А я стандартным способом решить не справился. Пришлось решать нестандартно. Очень понравилось.
(Поначалу даже хотел как-то по-школьному решить. Не случилось)

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:38 
Аватара пользователя
Mihr в сообщении #1505790 писал(а):
Плотность заряда $\rho(r)$ всюду конечна.


Совсем всюду или всюду, кроме центра?
Если второе, то да, ответ получается компактным, можно сказать красивым.
А если первое, то кроме тривиального нуля вроде бы ничего и нет.

-- 20.02.2021, 12:39 --

AnatolyBa в сообщении #1505804 писал(а):
А я стандартным способом решить не справился.

А я в стандартном (может быть даже в школьном) способе попросил Wolfram решить диффур :roll:

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:51 
EUgeneUS в сообщении #1505807 писал(а):
А если первое, то кроме тривиального нуля вроде бы ничего и нет.

В центре можно доопределить вторую функцию ее пределом, который конечен.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:53 
Аватара пользователя
AnatolyBa, но ведь там просто возникает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Решаем его. Это, вроде, стандартный путь?
AnatolyBa в сообщении #1505804 писал(а):
Пришлось решать нестандартно.

Покажете своё решение? Очень интересно: как можно решить по-другому?

EUgeneUS в сообщении #1505807 писал(а):
Совсем всюду или всюду, кроме центра?

Совсем-совсем. Вообще, конечно, возникает разрывная в нуле функция, но с устранимым разрывом. Доопределяем её по непрерывности. Вот и всё.
Тривиальное (нулевое) решение я, конечно, не имел в виду.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 12:54 
EUgeneUS в сообщении #1505807 писал(а):
А я в стандартном (может быть даже в школьном) способе попросил Wolfram решить диффур

Да это ж тривиальное стационарное уравнение Шредингера с нулевой потенциальной энергией в сферически-симметричном случае ;).

-- 20.02.2021, 16:59 --

Mihr
Интересно добавить условие $\rho=0$ при $r\ge R$. Тогда получается счетное множество решений.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:00 
Аватара пользователя
DimaM
У меня получилось, что в центре бесконечность.

(Оффтоп)

$\varphi(r) = C \frac{e^{-\sqrt{\frac{4 \pi}{\alpha}}r}} {r}$

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:07 
EUgeneUS в сообщении #1505814 писал(а):
У меня получилось, что в центре бесконечность.

В вашей функции вместо $\alpha$ должно быть $-\alpha$. При $\alpha>0$ (это условие Mihr забыл указать) из двух решений в числителе собирается синус, и предел в центре конечен.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:08 
Дабы не было сомнений

(Оффтоп)

$\frac{\sin(\sqrt{4\pi \alpha}r)}{r}$

А про Вольфрам я не подумал. Но сейчас посмотрел, что он предлагает - и таки да, есть решение, если внимательно посмотреть

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:11 
DimaM в сообщении #1505812 писал(а):
Интересно добавить условие $\rho=0$ при $r\ge R$. Тогда получается счетное множество решений.

То есть появляется ограничение на возможные значения $\alpha$.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:11 

(Оффтоп)

А я обратил внимание, что получается уравнение Шредингера для свободной частицы и проинтегрировал волну по всем направлениям.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:12 
Аватара пользователя
DimaM в сообщении #1505812 писал(а):
Интересно добавить условие $\rho=0$ при $r\ge R$. Тогда получается счетное множество решений.

Если задачу начинают варьировать, значит, она чем-то интересна. Это приятно. Спасибо.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:12 
AnatolyBa в сообщении #1505818 писал(а):
Дабы не было сомнений

Должна быть $\alpha$ в знаменателе, и еще можно произвольный коэффициент.

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:15 
Так. DimaM уже написал про Шредингера. Извините не заметил .

-- 20.02.2021, 13:20 --

Mihr в сообщении #1505811 писал(а):
но ведь там просто возникает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Решаем его

Ну так смотрел я смотрел на это уравнение. И не решил :oops: . А лезть в справочники поленился.

-- 20.02.2021, 13:23 --

DimaM в сообщении #1505823 писал(а):
Должна быть $\alpha$ в знаменателе, и еще можно произвольный коэффициент

Произвольный коэффициент, да, а зачем тогда $\alpha$ ?

 
 
 
 Re: Сферически симметричное распределение заряда
Сообщение20.02.2021, 13:27 
AnatolyBa в сообщении #1505824 писал(а):
Произвольный коэффициент, да, а зачем тогда $\alpha$ ?

$\alpha$ в аргументе синуса, а коэффициент снаружи.
Просто у вас (как и у меня вначале) получилось решение немного другого уравнения
$$\nabla^2\varphi=-4\pi\alpha\varphi,$$
а на самом деле оно такое
$$\nabla^2\varphi=-\frac{4\pi}{\alpha}\varphi.$$

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group