Iterated Limits

[Roman_T]

Assume $\lim\limits_{m,n \to \infty} a_{mn} = a$, and assume that for each fixed $m \in \mathbb{N}$, $\lim\limits_{n \to \infty} a_{mn} = b_m$.

Show $\lim\limits_{m \to \infty} b_m = a$.

По условию для любого $\varepsilon>0$ найдется $N_0 \in \mathbb{N}$, такое что для любого $n>N_0$ имеем $|a_{mn}-a|<\varepsilon/2$.

Также по условию для любого $m$ найдется $N_m \in \mathbb {N}$, такое что для любого $n>N_m$ имеем $|a_{mn}-b_m|<\varepsilon/2$.

Пусть $N= \max \{N_0, N_1, \dots\}$. Тогда для любого $n>N$

$|b_m - a| = |a_{mn}-a-(a_{mn}-b_m)| \leqslant |a_{mn}-a|+|a_{mn}-b_m|<\varepsilon$.

Как показать что максимум, то есть $N$, существует?

[mihaild]

Roman_T в сообщении #1504537 писал(а):

По условию для любого $\varepsilon>0$ найдется $N_0 \in \mathbb{N}$, такое что для любого $n>N_0$ имеем $|a_{mn}-a|<\varepsilon/2$.

Нет, это из существования двойного предела не следует. Представьте, что $a_{0, n} = 0$ и $a_{m, n} = 1$ при $m > 0$.
Как определяется $\lim\limits_{m, n \to \infty} a_{mn}$?
(я надеюсь что $a_{mn}$ - это два индекса, а не произведение)

[Roman_T]

Roman_T в сообщении #1504537 писал(а):

По условию для любого $\varepsilon>0$ найдется $N_0 \in \mathbb{N}$, такое что для любого $n>N_0$ имеем $|a_{mn}-a|<\varepsilon/2$.

mihaild в сообщении #1504538 писал(а):

Нет, это из существования двойного предела не следует.

Извиняюсь, поспешил, здесь должно быть для любых $m,n>N_0$.

mihaild в сообщении #1504538 писал(а):

Как определяется $\lim\limits_{m, n \to \infty} a_{mn}$?

$\lim\limits_{m,n \to \infty} a_{mn} = a$ если для любого $\varepsilon>0$ найдется $N \in \mathbb{N}$, такое что для всех $m,n>N$ выполняется $|a_{mn}-a|<\varepsilon$.

mihaild в сообщении #1504538 писал(а):

(я надеюсь что $a_{mn}$ - это два индекса, а не произведение)

Да.

[mihaild]

Существует $N$ такое что при $m_0, m_1, n_0, n_1 > N$ выполнено $|a_{m_0 n_0} - a_{m_1 n_1}| < \varepsilon$ (проверьте). Что можно сказать про $|b_{m_0} - b_{m_1}|$ в таком случае?

[Roman_T]

Для любого $\varepsilon>0$ существует $N$, такое что при $m_0, m_1, n_0, n_1 > N$ выполнено $|a_{m_0n_0} - a|<\varepsilon/2$, $|a_{m_1n_1}-a|<\varepsilon/2$. Тогда $|a_{m_0n_0}-a_{m_1n_1}| \leqslant |a_{m_0n_0} - a| + |a_{m_1n_1}-a|<\varepsilon$.

Существуют $N_{m_0}, N_{m_1}$, такие что для $n>\max\{ N_{m_0}, N_{m_1} \}$ имеем $|b_{m_0}-a_{m_0n}|<\varepsilon/3$, $|b_{m_1}-a_{m_1n}|<\varepsilon/3$. Тогда

$$|b_{m_0}-b_{m_1}| \leqslant |b_{m_0}-b_{m_1}-a_{m_0n}+a_{m_1n}| + |a_{m_0n}-a_{m_1n}| \leqslant |b_{m_0} - a_{m_0n}|+|b_{m_1}-a_{m_1n}| + |a_{m_0n}-a_{m_1n}|<\varepsilon.$$

Но опять остается вопрос существует ли такое $n$, что неравенства будут выполняться не только для фиксированных $m_0, m_1$, но и для всех $m_0, m_1>N$?

[mihaild]

Roman_T в сообщении #1504552 писал(а):

что неравенства будут выполняться не только для фиксированных $m_0, m_1$, но и для всех $m_0, m_1>N$?

Так вы ровно это же и доказали. Ну да, внутри доказательства выбирали $N_{m_0}$ и $N_{m_1}$ глядя на $m_0$ и $m_1$, но это неважно.
(тут впрочем получается просто фундаментальность, и я зря про неё заговорил, но и равенство предела нужному значению получается аналогично)

[Roman_T]

mihaild, понял, спасибо!