2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение16.12.2020, 21:09 


21/01/09

133
Возник такой вопрос: существует ли решение уравнения
$\operatorname{div}\operatorname{grad} f(r) + k \cdot f^{3}(r) = 0$
Действительная переменная r принадлежит интервалу от нуля до (плюс) бесконечности, например, это расстояние от нулевой точки в трёхмерном пространстве. Действительный постоянный множитель k может быть положительным или отрицательным, наибольший интерес представляет положительный, если это меняет характер решения. f(r) искомая функция.
Для уравнения $\operatorname{div}\operatorname{grad} f(r) + k^{2} \cdot f(r) = 0$
решение находится в виде $f(r) = \frac{\sin(k \cdot r)}{r}$:
$\operatorname{div}\operatorname{grad} f(r) = f
Уравнение $\operatorname{div}\operatorname{grad} f(r) + k^{2} \cdot f^{5}(r) = 0$ решается так:
$f(r) = \sqrt{R^{2} + r^{2}}^{-1}$ где $R^{2} = \frac{k^{2}}{3}$
$\operatorname{div}\operatorname{grad} f(r) = f
Но если член справа функция в третьей степени, а не первой или пятой,
кажется не получится выразить решение через элементарные функции.
Тригонометрические и экспоненты-логарифмы явно не подходят, они только для первой степени.
Может существуют какие-то сложные рекурсивные многочлены или дроби для таких случаев,
наподобие того, как определяются множители волновых функций? Буду благодарен за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение16.12.2020, 22:27 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Предположим, что $r$ - это радиальная переменная в цилиндрической системе координат (т.е. - расстояние от точки до оси $z$), и $f$ зависит только от этой координаты. В этом случае уравнение имеет вид: $$f''(r)+\frac 1rf'(r)+kf^3(r)=0$$и имеет, например, такое решение $f(r)=\dfrac 1{\sqrt {|k|}r }, (k<0)$ или (при $k>0) f(r)=\dfrac i{\sqrt kr}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение16.12.2020, 23:20 


21/01/09

133
Вы хорошо описали двухмерный случай. Из этого следует, что при k > 0 нет решений в действительных числах, только через комплексные. Но интересует именно трёхмерный вариант. Пусть решение и окажется очень длинным, через какие-то ряды или дроби. Может разделить координатную ось на два участка, близкий (около нуля) и далёкий (стремящийся к бесконечности), со "сшивкой" посередине. Но приближать по обратным степеням r на дальнем участке вряд ли реально. Существует своеобразный разрыв: при $\frac{1}{r}$ лапласиан меньше, чем куб функции, а при $\frac{1}{r^{2}}$ и больших отрицательных степенях r лапласиан становится больше куба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
А Вы в сторону инвариантно-групповых решений не смотрели?
Группа, правда, скудная (сдвиги, повороты и растяжение), но все-таки..

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 16:26 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Maple как раз пытается решать ОДУ с помощью поиска инвариантов. И есть команды, чтобы вывести инварианты явно. Только в данном случае он ничего не находит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Ну, не знаю, как там мейпл, а, например, можно взять двумерную (под)группу из поворота вокруг оси $z$ и растяжения.
У этой группы будет инвариант $\frac{x^2 + y^2}{z^2}$ и $uz$. Соответственно, ищем решение в виде $uz = v(\frac{x^2 + y^2}{z^2})$.
Подставляем это дело в исходное УЧП и voila - получаем обыкновенный диффур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 20:21 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Я имел в виду ОДУ от одного переменного $r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
А. Я так понял, у хозяина $r$ исходно это $(x, y, z)$.
Уравнение, соответственно, $\Delta u + u^3 = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 22:04 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Для исходного Maple какие-то симметрии находит. И несколько похожих вариантов решений, все через функцию Якоби, например
$$
u \left( x,y,z \right) ={\it C5}\,{\mathrm{JacobiSN}} \left(  \left( 1/2
\,{\frac {\sqrt {2}\sqrt { \left( {{\it C1}}^{2}+{{\it C2}}^{2}+{{
\it C3}}^{2} \right)  \left( {\it C1}\,x+{\it C2}\,y+{\it C3}
\,z+{\it C4} \right) ^{2}}}{{{\it C1}}^{2}+{{\it C2}}^{2}+{{\it 
C3}}^{2}}}+{\it C4} \right) {\it C5},i \right) 
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Судя по тому, как в решение вошли $x, y, z$, Maple использовал группу сдвигов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение17.12.2020, 23:21 


21/01/09

133
Чтобы не путаться с количеством измерений и лапласианом, можно упростить задачу до уравнения:
$y''(x) + \frac{2}{x} \cdot y'(x) + k \cdot y^3(x)=0$
Пытаюсь получить что-то адекватное через автоматические "решалки".
К сожалению, они даже случаи с первой и пятой степенью игнорируют,
или ответ мало похож на сравнительно простые функции, приведенные мной.
Кажется, вместо попыток точно решить лучший выход это приближение.

-- Пт дек 18, 2020 00:43:15 --

Оказывается, такое уравнение классифицируют, как частный случай уравнений Эмдена-Фаулера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение18.12.2020, 05:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Вы, может быть, цель Ваших манипуляций с уравнением немножко осветите?
А то как-то непонятно, чего Вы, собс-но, хотите.
Если надо в элементарных (зачем, кстати? по ходу, а 0 не устроит?), почему не взять одномерное, $u'' + u^3 = 0$?
Заменой $u' = p(u)$ сведем решение к квадратурам и к эллиптическим функциям (формулу привел уважаемый Vince Diesel).

-- Пт дек 18, 2020 07:04:45 --

Двойка, кстати, лишняя.
А $k$ вообще непонятно, для чего таскать, убирается сменой масштаба же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение18.12.2020, 12:05 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Рискну предположить, что ТС (хотя он этого не говорит ) ищет сферически симметричное решение своего уравнения, поэтому оно и сводится к ОДУ. Но нужны, наверное, дополнительные условия: например, поведение в 0 или на $\infty $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение18.12.2020, 15:31 


21/01/09

133
Цитата:
цель Ваших манипуляций с уравнением немножко осветите

Физическое моделирование. Искомую функцию можно назвать волновой, хотя она выходит за рамки линейной классики.
Поставлена задача, получится ли при таком уравнении достичь каких-то стабильных состояний, сферически симметричных.
Если прямо запустить численные методы, не факт, что будут найдены все вероятные решения, а хотелось бы.
При первой степени в правом члене уравнения функция имеет бесконечное множество экстремумов,
она убывающая по модулю периодическая. При пятой степени только один экстремум в нулевой точке.
Что будет для третьей, нереально предсказать.
Цитата:
Если надо в элементарных

Скорее в удобных для вычислений. Всякие Гамма и Дельта функции это плохо.
Вот аппроксиманты Паде прекрасный вариант.
Цитата:
Двойка, кстати, лишняя

С единицей получится двухмерный случай вместо трёхмерного.
Цитата:
дополнительные условия: например, поведение в 0 или на $\infty$

На бесконечности функция стремится к нулю, скорее всего как $\frac{1}{x}$,
учитывая схожие решения для первой и пятой степени. Для первой степени функция периодическая,
и в среднем нулевая, но её квадрат всё равно пропорционален $\frac{1}{x^2}$
Какое поведение около нуля, опять же, по аналогии можно предположить, что гладкий экстремум, с нулевой производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение трудного дифференциального уравнения
Сообщение19.12.2020, 02:27 


21/01/09

133
Чтобы завершить тему: докопался я, что уравнения такого рода называются Лейна-Эмдена. Аналитические решения существуют только для первой, пятой (и ещё нулевой) степени. В остальных случаях применимы лишь численные методы, и можно найти рекуррентные соотношения между членами ряда. Но выше пятой степени кажется решения прерываются, а от первой до пятой непрерывные (степень может быть действительной, а не целой). MathCAD строит график для третьей степени что-то наподобие периодической функции, но с постепенно увеличивающимся периодом. А при попытке построить для седьмой степени график никак не приблизится к нулю, даже при огромных аргументах, и возможно там ненулевая асимптота.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group