Движение частицы в неоднородном магнитном поле

[Areyouwell]

Частица движется в магнитном поле
$H = {a z}$.
Построить траекторию движения. Застрял на данном моменте. Не могу понять, как доказать что
$r \sim\frac{1}{\sqrt H}$.
В итогде должна получиться спираль, но одна должна сжиматься. Вот мое решение. Может быть стоит применить закон сохранения обобщенного момента импульса?

$$\dot\vec{p}=\frac{e[\vec{V}\vec{H}]}{c}$$

$\mathcal{E}=\operatorname{const}$; $\vec{p}=\frac{\mathcal{E}\vec{V}}{c^2}$

$$\frac{\mathcal{E}\dot\vec{p}}{c^2}=\frac{e[\vec{V}\vec{H}]}{c}$$

$$\dot{V_x}=\omega V_y$ ; $\dot{V_y}=\omega V_x$ ; $\dot{V_z}=0$$
$\omega=\frac{ecH}{\mathcal{E}}=\frac{ec \alpha z}{\mathcal{E}}$
Из третьего выражения следует
$ p_z=\operatorname{const}$; $z=V_{0z} t$
Домножим второе выражение на $i$ и сложим с первым

$$\dot{V_x}+i\dot{V_y}=-i\omega V_x+\omega V_y$$

$$\dot{V_x}+i\dot{V_y}=-i\omega (V_x+ i V_y)$$

$$\frac{d(V_x+i V_y)}{V_x+i V_y}=-i\omega\ d{t}$$

$$\ln(V_x+iV_y)=\frac{-iec\alpha V_{0z} t^2}{2\mathcal{E}}$$

Пусть $q=\frac{ec\alpha V_{0z}}{2\mathcal{E}}$

$$V_x+iV_y=ae^{-iqt^2}$$

где $a=V_{0t} e^{-i\eth}$

$$V_x+iV_y=V_{0t} e^{-i(qt^2+\eth)}$$

Применим формулу Эйлера
$e^{-iy}=\cos(y)+i\sin(y)$

$$V_x=V_0t\cos(qt^2+\eth)$$

$$V_y=-V_0t\sin(qt^2+\eth)$$

Где $V_{0t}=\sqrt{(V_x)^2+(V_y)^2}$

$$x=x_0+r\sin(qt^2+\eth)$$

$$y=y_0+r\sin(qt^2+\eth)$$

$$z=z_0+V_{0z} t$$

Где $r=\frac{V_{0t}}{2qt}=\frac{V_{0t} \mathcal{E}}{2 e c H}=\frac{cp_t}{2eH}$

[amon]

Areyouwell, Вас сейчас отправят в карантин переписывать формулы, за одно подумайте, как Вы перешли от

$$v_x=v_{x_0}\cos(at^2+b)$$

к

$$x=x_0+r\sin(at^2+b)?$$

[Areyouwell]

Я просто проинтегрировал, ну и там вылезет множитель $\frac{1}{2 a t}$, который я спрятал в $r$

[amon]

Areyouwell в сообщении #1496816 писал(а):

Я просто проинтегрировал, ну и там вылезет множитель $\frac{1}{2 a t}$, который я спрятал в $r$

То-то Френель в гробу заворочался. Того и гляди - перевернется.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Areyouwell]

Большое спасибо. Я разобрался с задачкой. Может быть кому-то в дальнейшем поможет.

$$x=x_0-{\frac{\sqrt{\pi}V_{0t}(\sin(\eth)S(t \sqrt{\frac{2q}{\pi}})-\cos(\eth)C(t \sqrt{\frac{2q}{\pi}}))}{\sqrt{2q}}}$$

$$y=y_0-{\frac{\sqrt{\pi}V_{0t}(\cos(\eth)S(t \sqrt{\frac{2q}{\pi}})-\sin(\eth)C(t \sqrt{\frac{2q}{\pi}}))}{\sqrt{2q}}}$$

$$z=z_0+V_{0z}t$$

Где $S$ и $C$ интегралы Френеля. График будет спираль Корню или клотоида.