Функция знака sign(x)

[daniel starodubtsev]

Достаточно широко известна функция знака $sign(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x>0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ -1,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$.
Определив ее как $sign(x)=\begin{cases} \frac{x}{|x|},&\text{если $x\ne0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$.} \end{cases}$ можно уменьшить количество индикаторов в выражении до двух. Можно ли обойтись совсем без индикаторов? Мне пришло в голову следующее решение: $sign(x)=\lim\limits_{a\to\infty}^{}(a|x+\frac{1}{2a}|-a|x-\frac{1}{2a}|)$. Есть ли какие-то другие, возможно более известные или изящные варианты? Крайне желательно без использования дельта-функций и т.д., поскольку суть задачи как раз в том, чтобы обойтись максимально простыми средствами.

[mihaild]

Если я правильно понял, то вопрос - как выразить функцию $\operatorname{sign}(x)$. Через что выражаем?

[Sicker]

mihaild в сообщении #1495658 писал(а):

Если я правильно понял, то вопрос - как выразить функцию $\operatorname{sign}(x)$. Через что выражаем?

Как я понял, можно использовать элементарные функции, модуль и пределы (но не ряды)

[Padawan]

Если можно использовать операцию предела, то легко $\operatorname{sgn} x= \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}\pi\arctg n x$.

[Утундрий]

$$\[ \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \frac{x} {{ \left| x \right| + \varepsilon }} \] $$

[FL91]

Ну так модуль тоже двумя условиями задаётся. И в определении предела участвует.

[Dmitriy40]

FL91 в сообщении #1495701 писал(а):

Ну так модуль тоже двумя условиями задаётся.

Не обязательно: $|x|=\sqrt{x^2}$.

-- 08.12.2020, 15:28 --

В вики приводится интересный вариант :

$$\operatorname{sgn} x = \dfrac{2}{\pi} \int\limits_0^\infty \dfrac{\sin tx}{t} dt$$

А в английской есть без интегралов, рядов и пределов:

$$\operatorname{sgn} x = \left\lfloor\dfrac{x}{|x|+1}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{-x}{|-x|+1}\right\rfloor$$

Чем не формула?

[Утундрий]

Я так понимаю, ТС устроит любая сквозная формула.

[FL91]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1495746 писал(а):

Не обязательно: $|x|=\sqrt{x^2}$.

Тогда ладно...

[daniel starodubtsev]

Dmitriy40

О, да, вторая формула мне нравится! Хоть там и используется функция целой части, но это лучшее из предложенного, спасибо.

[kotenok gav]

$[x\ne0]\dfrac x{|x|}$, если считать ноль, умноженный на что угодно, равным нулю.

[Dmitriy40]

kotenok gav в сообщении #1495795 писал(а):

$[x\ne0]\dfrac x{|x|}$, если считать ноль, умноженный на что угодно, равным нулю.

Это уже не математика так как привязано и к представлению условий числами и к представлению термов ИСТИНА и ЛОЖЬ вполне конкретными числами и к порядку вычисления выражений (умножение же коммутативно). И первое и второе вовсе не обязательно! Или тогда указывайте для какого мат.пакета это работает. Потому что просто так брать целую часть от ИСТИНЫ нельзя ... как и умножать её на число.

[kotenok gav]

Это не целая часть, это скобки Айверсона.

[Legioner93]

kotenok gav в сообщении #1495795 писал(а):

$[x\ne0]\dfrac x{|x|}$, если считать ноль, умноженный на что угодно, равным нулю.

$[x>0] - [x<0]$

[Padawan]

Legioner93
Красиво!