Регистрация радиационного излучения.

[chesas]

Помогите составить уравнение для решения задачи.
Есть точечный источник гамма-излучения. Он расположен на определённой высоте - $h$ от плоского тела, в форме прямоугольного параллелепипеда, не обязательно над ним. Размеры тела известны: длина - $a$ и ширина – $b$ и толщина - $c$. Верхняя грань($a\text{ на }b$) которого расположена в плоскости Oxy, и стороны сориентированы согласно осей координат: $a$ – параллельно абсциссе и $b$ - ординате. Количество гамма квантов(частиц), покидающих источник, естественно во все стороны – $N_\text{все}$. Раньше найдено количество частиц покинувших источник, направляющихся в сторону нашего тела – $N_1$. Необходимо посчитать, сколько частиц достигнет поверхности тела, если среда, в которой они движутся – воздух. Известна формула вероятности прохождения частицы в воздухе:

$$P = e ^{-{\mu}R}$$

Для однородной среды и частицы определённой энергии $\mu$ – константа. $R$ – расстояние от источника до поверхности. У меня получилось так, если расположить источник над серединой тела; и считать количество для его четвёртой части:

$$N_2=N_1\int\limits_{0}^{b/2}\int\limits_{0}^{a/2}{e^{-{\mu}R}\,dx\,dy}$$

И получилось, что долетело частиц больше, чем вылетело. Не знаю, где ошибка.

[StaticZero]

chesas, у вас размерность интеграла (площадь) не согласуется со смыслом величины $N_2$ (штуки). В знаменателе кажется пропущенным что-то типа

$$ \iint_K \mathrm dx \ \mathrm dy \exp(-\mu R) $$

где $K$ --- вся площадь тела.

[DimaM]

chesas в сообщении #1494846 писал(а):

И получилось, что долетело частиц больше, чем вылетело. Не знаю, где ошибка.

Надо бы на площадь поверхности поделить для начала.
Но вообще-то формула неверна: вы считаете, что в направлении одинаковых маленьких площадок летит одинаковое количество частиц. На самом же деле одинаковое количество частиц летит в одинаковые телесные углы.

[sergey zhukov]

chesas
Да, в интеграле нужно домножить элементарную площадку $dxdy$ на косинус угла между нормалью к площадке и углом падения излучения на площадку.
Точнее, под интегралом должен быть телесный угол, соответствующий площадке $dxdy$, умноженный на фактор поглощения (который зависит только от расстояния до площадки). А весь интеграл нужно умножить на плотность излучения источника в штуках на единичный телесный угол.

[chesas]

Изначально, я считал количество частиц, достигших детектора, но они были всеми покинувшими источник в его направлении $N_2=N_1$ именно используя отношение телесных углов. Но это было для вакуума.

[sergey zhukov]

chesas
Проще всего это вычислить для круглого детектора. Допустим, интенсивность источника равна $N$. Тогда в кольце шириной $d\theta$ он излучает $dN=N2\pi \sin(\theta)d\theta$. Учитывая поглощение в воздухе с коэффициентом $k$, на детектор из этого попадет $dN=N2\pi sin(\theta)e^{-k\frac{R_0}{cos(\theta)}} d\theta$, где $R_0$- расстояние от детектора до источника. Полный поток на круглый детектор будет интегралом от этого в пределах $0...\theta_0$, где $\theta_0$ - это угловой размер детектора из точки источника.
Для прямоугольного детектора будет немного сложнее.

[chesas]

sergey zhukov в сообщении #1494883 писал(а):

chesas
Чем этот случай отличается от вакуума? Рассеяния частиц у вас нет, только поглощение. Тогда нужно взять ваше вакуумное решение и умножить его подынтегральное выражение еще и на коэффициент поглощения.

Большое спасибо, я попробую. Что-то там не получалось, давненько решал не помню.

[sergey zhukov]

chesas
Только вряд-ли у вас настолько огромный детектор или он так близко от источника, чтобы имело смысл рассматривать переменные угловые величины. Проще всего считать, что расстояние до источника велико сравнении с размерами детектора. Тогда, если число частиц, попадающих на детектор в вакууме $N_1$ вам известно, то для воздуха это просто будет $N_2=N_1e^{-\mu R}$ без всяких интегралов.

[chesas]

У меня как раз такие случаи чаще всего и бывают. Источник точечный и небольшой активности; и габариты блока гораздо больше расстояния до него.

[StaticZero]

Тогда только интеграл по телесному углу.

[sergey zhukov]

chesas
Хм.. тогда нужно интегрировать, как выше было описано. А что это за установка такая?

[chesas]

Сцинтиляционные блоки детектирования.

[Theoristos]

chesas в сообщении #1494846 писал(а):

$$N 2=N 1\int\limits_{0}^{b/2}\int\limits_{0}^{a/2}{e^{-{\mu}R} dxdy}$$

И получилось, что долетело частиц больше, чем вылетело. Не знаю, где ошибка.

Так вы отнормируйте. Разделите на то же
\int\limits_{0}^{b/2}\int\limits_{0}^{a/2}{e^{-{\mu}R} dxdy}$$,
только при $\mu=0$.
Хотя бы будет видно, что ТАКОЕ расходится, а знат что-то не в порядке и вместо элементов площадей нужно, как уже тут заметили, использовать телесные углы этих площадей.

А какая нужна точность результата, и есть ли уверенность, что в этом случае рассеянием и рождением вторичных частиц можно пренебречь?

[realeugene]

Можно и по площади интегрировать, но нужно учесть, что поток в сторону разных элементов площади излучается источником различный. С телесными углами тоже могут быть такие же неприятности, если источник не изотропный (анизотропия тут может быть из-за поглощения излучения частями конструкции самого источника). В общем, нужно учитывать диаграмму направленности источника хоть по какой-нибудь мере.

[chesas]

Сейчас попробую хотя бы сокращённо выложить мои расчёты $N_1$ - частиц покинувших источник в сторону детектора.