Функция Дирихле

[Spook]

Пусть
$\chi(x)=\left\{\begin{array}{1} 1,x\in \mathbb{Q},\\ 0,x\in {\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}}. \end{array} \right. $

В книге наткнулся на утверждение, что эту функцию можно представить в таком виде:
$\chi(x)=\lim\limits_{m\to \infty}\lim\limits_{n\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$. Соответственно доказательства этого "очевидного" факта там не было. Сам я его провести не могу. Может кто-нибудь с этим уже встречался?

[Brukvalub]

Дело в том, что число

\[xm!\]

с ростом натурального m становится целым тогда и только тогда, когда число x рационально.

[ewert]

После предельного перехода только по $n$ получаем функцию, равную единице для всех рациональных точек со знаменателями, на который делится данный факториал; во всех остальных точках она равна нулю. По мере роста $m$ подтягиваются и все остальные рациональные точки. Т.е. если обозначить $\chi_m(x)=\lim\limits_{n\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$, то последовательность этих функций будет поточечно стремиться именно к функции Дирихле.

----------------------------------------
Обратный слэш вводится как \backslash. Хотя грамотнее, говорят, писать \setminus. Хотя фактически это вроде одно и то же.

[Spook]

Brukvalub,ewert точно! А $n$ удвоили чтобы обеспечить неотрицательность. Еще один глупый вопрос: мы же не можем поменять местами пределы?

[Brukvalub]

Нет, тогда внутренний предел перестанет существовать.

[ewert]

Скорее всего нет -- в иррациональных точках не будет никакой сходимости (хотя, строго говоря, я в этом и не уверен).

[Spook]

да, действительно, $cos(\infty)$ не опрпеделен. А задачка оказалась не такой уж и сложной как на первый взгляд, спасибо!

[Профессор Снэйп]

Spook писал(а):

да, действительно, $cos(\infty)$ не опрпеделен.

При чём тут какой-то косинус бесконечности?

[Spook]

Профессор Снэйп да, это я глупость сказал, ну вообщем, понятно что $\lim\limits_{m\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$ не существует.

[Профессор Снэйп]

Spook писал(а):

Профессор Снэйп да, это я глупость сказал, ну вообщем, понятно что $\lim\limits_{m\to \infty}cos^{2n}(2\pi xm!)$ не существует.

То, что для некоторых $x$ (например, $x \in \mathbb{Q}$) этот предел существует --- очевидно. А вот то, что для некоторых $x$ сей предел не существует --- непонятно. Если это так, то хотелось бы увидеть доказательство. ewert вот тоже не уверен.

[Spook]

Профессор Снэйп ну, если взять иррациональное $x$,то мы получим тот же $cos(\infty)$.
Причем, мы точно знаем, что эта бесконечность не кратна $\pi$.

[ewert]

Spook писал(а):

Профессор Снэйп ну, если взять иррациональное $x$,то мы получим тот же $cos(\infty)$.
Причем, мы точно знаем, что эта бесконечность не кратна $\pi$.

ну это какой-то уж совсем жаргон, причём точно бессмысленный.

[Spook]

ewert писал(а):

Spook писал(а):

Профессор Снэйп ну, если взять иррациональное $x$,то мы получим тот же $cos(\infty)$.
Причем, мы точно знаем, что эта бесконечность не кратна $\pi$.

ну это какой-то уж совсем жаргон, причём точно бессмысленный.

ну тогдя я не знаю. Вообще насколько я помню пределы можно менять если функция под ними непрерывна.

[Brukvalub]

Нужно вспомнить иррациональные обмотки тора, принцип Дирихле и т.п.

[Spook]

Brukvalub я про это не знаю, можете ссылку дать? почитаю на досуге после сессии.