Функция Дирихле

[ewert]

ну, по крайней мере для некоторых иррациональных чисел предел всё же существует. Например, дробная часть числа $e^{-1}\cdot m!$ совершенно откровенно стремится к нулю.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Brukvalub я про это не знаю, можете ссылку дать? почитаю на досуге после сессии.

Прио иррациональную обмотку тора можно почитать в учебниках Арнольда по дифференциальным уравнениям. А принцип Дирихле просто говорит, что в 2008 клеток нельзя посадить 2009 кроликов так, чтобы в каждой клетке сидело не более одного кролика.

[Spook]

Brukvalub почитаю, спасибо.
ewert а почему нельз утверждать, что в пределе (именно в пределе) $rm!$, где $r$ иррационально, мы получим целое число, зная что $m!$ содержит в себе бесконечное число нулей(дробная часть уйдет)?

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Хотя пожалуй как-то смело звучит, не математически... думаю после прочтения Арнольда вопрос решится. Всем спасибо.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert а почему нельз утверждать, что в пределе (именно в пределе) $rm!$, где $r$ иррационально, мы получим целое число, зная что $m!$ содержит в себе бесконечное число нулей(дробная часть уйдет)?

Ну, всё же аккуратнее: не предел будет целым, а дробная часть будет якобы стремится к нулю. Не знаю, убедительных оснований для такого утверждения пока не вижу.

Кстати, Арнольд тут не факт что поможет: во всяких развёртках торов используются умножения на натуральный ряд, тут же -- на факториалы, а это всё же разные задачи.

[RIP]

Нельзя утверждать потому, что легко строится пример. Про это можно почитать, например, в http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/070 ... 0223v1.pdf
(Там на самом деле доказывается гораздо больше.)

[Spook]

ewert я тоже уже усомнился в своих доводах.
RIP а статья хорошая,спасибо, жалко только, что на английском.
Вопрос снят.

[Brukvalub]

Интересно,верен ли следующий факт:

\[ \exists \,x \in R\,:\;\bar \exists \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\cos (2\pi xm!) \]

?

[RIP]

Brukvalub писал(а):

Интересно,верен ли следующий факт:

\[ \exists \,x \in R\,:\;\bar \exists \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\cos (2\pi xm!) \]

?

Конечно. Нетрудно показать, что для любой неограниченной последовательности вещественных чисел $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ существует $x\in\mathbb R$, такое что множество дробных долей $a_nx$ плотно в $[0;1]$.

[Brukvalub]

Спасибо, RIP. Тем самым, точно установлено, что перестановка пределов в рассмотренном Spook определении функции Дирихле невозможна

[RIP]

Spook писал(а):

статья хорошая,спасибо, жалко только, что на английском.

На русском можно также посмотреть А. Я. Хинчин, Избранные труды по теории чисел, М.: МЦНМО, 2006, с. 67-94, конкретно: Вспомогательное предложение 3. Не знаю, правда, где можно взять эту книжку (кстати, в этой книжке просто неизмеримое по Лебегу множество опечаток, да и перевод местами мягко говоря хромает, что отнюдь не облегчает чтение).

Добавлено спустя 11 минут 6 секунд:

Впрочем, можно ещё глянуть в Касселс Д.В.С. — Введение в теорию диофантовых приближений, Гл. V, Лемма 2. Для нашей ситуации этого более чем достаточно.

P.S. Замечу, кстати, что Эрдёш свою Problem B сформулировал в 1975 году, а доказательство более сильного утверждения было дано Хинчиным ещё в 192каком-то году.

[Spook]

Brukvalub,RIP и чтобы окончательно разобраться с этой функцией еще один вопрос: известно(по-моему теорема Лузина), что любую измеримую функцию можно приблизить непрерывными. Однако также известно, что не существует такой последовтельности непрерывных функций, что $f_0(x)= \lim\limits_{n\to \infty}f_n(x) \forall x\in R$. Нет ли здесь противоречия?

Добавлено, чтобы не поднимать старую тему:

Henrylee, да, так и есть.
Всем спасибо, вопрос снят.

[Henrylee]

Spook писал(а):

Brukvalub,RIP и чтобы окончательно разобраться с этой функцией еще один вопрос: известно(по-моему теорема Лузина), что любую измеримую функцию можно приблизить непрерывными. Однако также известно, что не существует такой последовтельности непрерывных функций, что $f_0(x)= \lim\limits_{n\to \infty}f_n(x) \forall x\in R$. Нет ли здесь противоречия?

В теореме Лузина говорится о приближении на множестве сколь угодно малой меры. Можно также показать, что измеримая функция есть почти всюду предел нерперывных. Но не всюду.

Добавлено спустя 55 минут 58 секунд:

Henrylee писал(а):

В теореме Лузина говорится о приближении на множестве сколь угодно малой меры.

Конечно, имелось в виду приближение на отрезке всюду кроме множества скольк угодно малой меры.
PS Спасибо AD за указание на этот баг