2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про собственные состояния операторов уничтожения.
Сообщение28.11.2020, 16:21 


28/11/20
4
:facepalm:
Добрый день.
Не судите строго, но у меня возникли проблемы с решением нескольких задач.

Задача 1
Операторы рождения $ \hat \alpha^+ $ и уничтожения $ \hat \alpha $ удовлетворяют
алгебре Гейзенберга $ [\hat \alpha ,\hat \alpha^+]=I $, $  \hat \alpha ,\hat \alpha =\hat \alpha^+ $, $ \hat \alpha^+=0 $, где $ \hat \alpha \mid 0 \rangle $ , где $ \mid 0 \rangle $ - вакуумное состояние.
Когерентные состояния $ \mid \alpha \rangle $ можно получить,
действуя унитарным оператором сдвига $ D(\alpha)\mid 0 \rangle=\exp (\alpha \hat \alpha^+  
-\alpha^* \hat \alpha) $ на вакуумное состояние $ |0 \rangle $, т.е.
$ |\alpha \rangle=D(\alpha)|0 \rangle= \exp (\alpha \hat \alpha^+ - \alpha^* \hat \alpha)|0\rangle $
Показать с помощью этого определения, что когерентные состояния также могут быть получены как собственные состояния оператора уничтожения $ \hat \alpha $, т.е
$ \hat \alpha|\alpha \rangle=\alpha|\alpha \rangle $.

Решение (явно в корне неверное, нет смысла искать ошибки.) :oops:

В моем понимании когерентное состояние это $|\alpha \rangle = e ^ \frac{-|\alpha|^2}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \alpha^n}{\sqrt{n!}}|n \rangle $, где $ n $ , базис фоковских состояний который изменяется от 0 до $ \infty $

В вакуумном состоянии осцилляторы поля имеют нулевые энергии, как я понимаю, это и есть заданное в условии 0 состояние, то есть $ | vac \rangle $
:facepalm:
Получаем, унитарный оператор смещения $ D ( \alpha ) $ действующий в вакууме
$ |\alpha \rangle = e ^\alpha \hat \alpha ^+ - \alpha ^\cdot  \hat \alpha   |0 \rangle = D( \alpha ) | 0 \rangle $


:facepalm: Далее, могу попробовать показать когерентное состояние оператора уничтожения, но необходимо другое.

Необходимо показать что собственные состояния оператора уничтожения $ \hat \alpha $ определяются равенством
$ \hat \alpha | \alpha \rangle = \alpha | \alpha \rangle $

Не представляю, как это сделать.
:facepalm:

Задача 2
Когерентные состояния имеют вид
$ |\alpha \rangle = e^\frac { -\alpha\alpha^*}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \alpha^n}{\sqrt{n!} |n \rangle } $
где $ \alpha $ - комплексное число.
Тогда $ \hat \alpha | \alpha \rangle = \alpha|\alpha \rangle $ (характеристическое уравнение),
$ \sum_{n=0}^{\infty}|n \rangle \langle n|=I$ и $ \hat n|n \rangle=\hat \alpha^\dagger \hat \alpha|n\rangle=n|n \rangle $

Вычислить
1.$ P_n=|\langle n|\alpha \rangle|^2 $
2.$  \langle \hat n \rangle =\langle \alpha | \hat n|\alpha \rangle$ , $ \langle \hat n^2 \rangle=\langle \alpha|\hat n^2|  \alpha\rangle $ ,
3.$ \langle(\Delta \hat n)^2 \rangle= \langle(\hat n - \langle \hat n \rangle I)^2  \rangle $

Решение (явно неверное) :oops:
1.$ P_n=| \langle n | \alpha \rangle|^2 = e ^-^<^n^>\frac{ n^n}{n!} $
2.$ \langle \hat n \rangle = \langle \hat\alpha ^+ \cdot \hat\alpha \rangle = |\alpha|^2 $
3.$ \langle(\Delta \hat n)^2 \rangle = Var(\langle \hat\alpha^+  \cdot \hat\alpha \rangle) = |\alpha|^2$
P.S. Буду благодарна за любую помощь.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.11.2020, 16:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22523
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.11.2020, 22:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22523
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про собственные состояния операторов уничтожения.
Сообщение28.11.2020, 23:36 


20/04/10
728
Русь
Давайте операторы рождения, уничтожения обозначать $\hat{a}, \hat{a}^{+}.$ Так привычнее.
Задача 1.
Тождество (Вейля): $$\exp(\hat{A}+\hat{B})=\exp(\hat{A})\exp(\hat{B})\exp(-\hat{C}/2), \text{ где } \hat{C}=[\hat{A},\hat{B}].$$ Надеюсь на семинарах вам показали его удивительно элегантное доказательство. Тогда
$$\hat D(\alpha)=\exp(\alpha \hat{a}^+)\exp(-\alpha^* \hat{a})\exp(|\alpha|^2/2).$$
Итак, нам нужно показать, что $\hat a\hat D(\alpha) |0\rangle=\alpha \hat D(\alpha) |0\rangle.$ Идея стара как мир -- нужно вычислить коммутатор $[\hat a,\hat D(\alpha)]$. Это позволит вместо $\hat a\hat D(\alpha)|0\rangle$ записать $(\hat D(\alpha)\hat a+[\hat a,\hat D(\alpha)])|0\rangle=[\hat a,\hat D(\alpha)]|0\rangle$. Используя формулу Лейбница $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$, а также формулу $[A,f(B)]=[A,B]f'(B)$ (в которой операторы $A, B$ должны быть такие, что $[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$; как раз наш случай) получим
$[\hat a,\hat D(\alpha)]=\alpha \hat D(\alpha)$. Вот и всё.

Задача 2.
_Nika_ в сообщении #1494426 писал(а):
Вычислить
1.$ P_n=|\langle n|\alpha \rangle|^2 $
2.$  \langle \hat n \rangle =\langle \alpha | \hat n|\alpha \rangle$ , $ \langle \hat n^2 \rangle=\langle \alpha|\hat n^2|  \alpha\rangle $ ,
3.$ \langle(\Delta \hat n)^2 \rangle= \langle(\hat n - \langle \hat n \rangle I)^2  \rangle $

1) Используйте $|\alpha\rangle=e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha^k}{\sqrt{k!}}|k\rangle$. Какой коэффициент "выживет" при вычислении скалярного произведения $\langle n|\alpha \rangle$ ?
2) Используйте $\hat a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ и сопряжение $\langle\alpha|\hat a^+=\langle\alpha|\alpha^*$.
3) Вспомните как удобно вычислять дисперсию -- раскройте скобки. Всё необходимое уже вычислено во втором пункте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про собственные состояния операторов уничтожения.
Сообщение29.11.2020, 00:43 


20/04/10
728
Русь
С первой задачей перемудрил -- сложно получилось. Коммутатор $[\hat a,\exp(\alpha\hat a^+ -\alpha^* \hat a)]$ надо сразу вычислять с помощью производной, пользуясь теоремой немного модифицированной по сравнению с
lel0lel в сообщении #1494516 писал(а):
$[A,f(B)]=[A,B]f'(B)$ (в которой операторы $A, B$ должны быть такие, что $[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$

Ещё кстати в формуле для $\hat D(\alpha)$ знак минус в последней экспоненте потерял. Должно быть так $\hat D(\alpha)=\exp(\alpha \hat{a}^+)\exp(-\alpha^* \hat{a})\exp(-|\alpha|^2/2).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про собственные состояния операторов уничтожения.
Сообщение29.11.2020, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065

(Оффтоп)

КТП и смайлики? Ню-ню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про собственные состояния операторов уничтожения.
Сообщение29.11.2020, 10:27 
Заслуженный участник


21/08/10
2213
Утундрий в сообщении #1494529 писал(а):
КТП



Ну какая это КТП... Некоторые простые упражнения про осциллятор и все. Глауберовские состояния. До КТП отсюда как до Луны пешком :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про собственные состояния операторов уничтожения.
Сообщение02.12.2020, 22:14 


28/11/20
4
КТП - ? Интересно, но задачи немного иные.

И так, что у меня получилось.
Задача 1. :oops:
Рассмотрим коммутатор:
$[\hat \alpha (\alpha  \hat \alpha^{+} - \alpha^{*} \hat \alpha )^n] 
\alpha n(\alpha  \hat \alpha^{+} - \alpha^{*} \hat \alpha)^{n-1} , n =1,2 ...
$

Имеем коммутационное соотношение:
$[\hat \alpha, D(\alpha)]= \alpha  D(\alpha)$

$\hat \alpha|0 \rangle$ и учитывая коммутационное соотношение получим:
$0=D(\alpha) \hat \alpha |0 \rangle = (\hat \alpha - \alpha I)D(\alpha)|0 \rangle= (\hat \alpha - \alpha I)|\alpha \rangle$

:mrgreen:

Задача 2. :oops:
1. $\langle n | m \rangle = \delta_mn $
Распределение Пуассона
$P_n= \frac{(\alpha \alpha^{*})^{n}exp(-\alpha \alpha^{*})}{n!} $

2. $ \hat \alpha| \alpha \rangle $ отсюда $\langle \alpha| \hat \alpha^{+}=\langle  \alpha| \hat \alpha^{*} $
получим $$\langle \hat n \rangle =\langle \alpha| \hat \alpha ^{+}\hat \alpha|\alpha\rangle=\alpha\alpha^{*}$$
$$\hat \alpha  \hat \alpha ^{+} =  \hat \alpha ^{+} \hat \alpha+I $$:
$$\langle \hat n^2 \rangle=(\alpha\alpha^{*})^2+\alpha\alpha^{*}$$
3. п.2 , получаем
$$\langle (\Delta \hat n)^2 \rangle := \langle (\hat n - \langle \hat n \rangle I)^2) \rangle = \alpha\alpha^{*} $$

:mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group