2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 15:24 


02/06/14
7
Добрый день! Бьюсь какое-то продолжительное время над задачей со вступительного экзамена в МГУ, 1998 год, геологический фалькутет.
Звучит задача так:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

$f(x)=\cos(x)+4\cos(\frac{x}{2})+7\cos(\frac{x}{4})+6\cos(\frac{x}{8})$.

По сути вступительных испытаний, задача должна решаться без применения производных, насколько я знаю.

Максимум отгадывается почти сразу, когда $\cos(x)=\cos(\frac{x}{2})=\cos(\frac{x}{4})=\cos(\frac{x}{8})=1$, с минимумом всё не так гладко.
Мой ход решения такой:

Сделав замену $\frac{x}{8}=\alpha$, свел функцию к более простому виду:

$f(\alpha)=\cos8\alpha+4\cos4\alpha+7\cos2\alpha+6\cos\alpha$.

Расписав двойные углы, получил "сумму двух парабол", чей максимум отгадывается легко (если нарисовать), а минимум не очевиден:

$ f(\alpha)=2\cos^24\alpha+4\cos4\alpha-1+14\cos^2\alpha+6\cos\alpha-7
$

Пробовал всё свести к уравнению 6-й степени или сгруппировать, но ничего толкового не выходит.

Буду признателен за намек к решению! Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Вольфрамом получается $-9$ в точках $16\pi/3$ и $32\pi/3$, если смотреть на отрезке $[0,16\pi]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 15:58 


02/06/14
7
Да, я знаю ответ. Это действительно -9. И знаю что у этой функции период $16\pi$. И знаю точку, в которой минимум.
Однако не могу дойти до этого сам.

В 1998 году на вступительном не было вольфрама. А решение с производной приводит к похожему по сложности уравнению, только с синусами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
superior в сообщении #1493964 писал(а):
А решение с производной приводит к похожему по сложности уравнению, только с синусами.
А если исходить из того, что корень многочлена рациональный и подбором (ведь в точке минимума $\cos\alpha=-1/2$)? Я имею в виду, что можно выразить $f(\alpha)=g(\cos\alpha)$, где $g$ - многочлен 6 степени, от него взять производную и приравнять нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 16:48 


02/06/14
7
alisa-lebovski, спасибо за идею!

Правда, судя по вольфраму, видно что у этой функции производная равна 0 не только в минимуме и максимуме.
И, даже угадав корень $-\frac{1}{2}$, мы не докажем что это минимум функции. Это может быть что-то локальное.

Я расписал многочлен, корни не угадываются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
superior в сообщении #1493970 писал(а):
Я расписал многочлен, корни не угадываются.
Напишите здесь многочлен (производную).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 16:54 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
superior в сообщении #1493957 писал(а):
По сути вступительных испытаний, задача должна решаться без применения производных,

Странно. Вообще-то понятие производной дается ещё в школе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 19:21 


02/06/14
7
alisa-lebovski

$\frac{\partial f}{\partial t}=1024t^7-1536t^5+768t^3-100t+6=0$, где $t=\cos(x)$.

Кажется, такие вычисления тут слишком сложны. В задачах на вступительных экзаменах обычно сидит что-то хитрое, а не решение в лоб с такими числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
superior в сообщении #1493985 писал(а):
Кажется, такие вычисления тут слишком сложны.
По крайней мере, тут видно, что можно вынести множитель 2 и далее коэффициенты делятся на степени двойки, можно сделать замену $y=2t$, после этого видно, что $-1$ подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 20:12 


02/06/14
7
alisa-lebovski
Спасибо!

Я не считаю это полным решением, поскольку найден только один корень многочлена. У многочлена есть и другие корни, которые также являются локальными экстремумами.

Не доказано, что корень $\cos\alpha=-1/2$ - минимум всей функции.

Вот, график изначальной функции.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
superior в сообщении #1493990 писал(а):
Вот, график изначальной функции.
Косинус пробегает все значения на промежутке $[0,\pi]$, а дальше в обе стороны это отражается. Так что есть только два лишних локальных экстремума, максимум и маленький минимум. С ними как-то надо разобраться. Да, я согласна, что это не полное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 20:50 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
superior
Зная один корень, можно понизить степень многочлена и посмотреть, что получится.
Умеете делить один многочлен на другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Несложно получить, что выражение $f(\alpha)=\cos{8\alpha}+4\cos{4\alpha}+7\cos{2\alpha}+6\cos{\alpha}$ равняется вот такому:
$$f(\alpha) = \cos{2\alpha}(4\cos^2{3\alpha}+2) + 6\cos{\alpha}(\cos{3\alpha}+1).$$ Обратите внимание, что выражения в скобках неотрицательны. Попробуем рассмотреть $\alpha$, для которых $\cos{2\alpha}\le0$ и $\cos{\alpha}<0$. В таком случае
$$f(\alpha) \ge 12\cos^2{\alpha}+12\cos{\alpha}-6,$$ а правая часть достигает минимального значения при $\cos{\alpha}=-1/2$. Остается только проверить, что оцененные сверху неотрицательные скобки действительно принимают в этих точках максимального значения, так что на этом множестве альф минимум найден и он равен $-9$.

Остальные случаи достаточно тривиальны. Если $\cos{\alpha}\ge0$ и $\cos{2\alpha}\ge0$, то $f(\alpha)\ge0$, а мы нашли значение меньше. Если $\cos{\alpha}\ge0$ и $\cos{2\alpha}<0$, то $f(\alpha) \ge (-1)\cdot 6 + (\ge0) = -6$, а мы нашли значение меньше. И, наконец, если $\cos{\alpha}<0$, а $\cos{2\alpha}>0$, то $\cos{\alpha}\in[-1,-1/\sqrt{2})$. Но тогда
$$f(\alpha) > 0 + 6\cos^2{\alpha}(4\cos^2{\alpha}-3)+6\cos{\alpha} \ge -9,$$ так что здесь итоговое неравенство строгое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
EUgeneUS в сообщении #1493995 писал(а):
Зная один корень, можно понизить степень многочлена и посмотреть, что получится.
Я делила, там ничего хорошего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ
Сообщение24.11.2020, 23:23 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ShMaxG в сообщении #1493996 писал(а):
Очевидно, что минимум если и достигается, то только на тех значениях $\alpha$, для которых $\cos{2\alpha}<0$ и $\cos{\alpha}<0$.

Почему???
superior
Зная ответ, решение можно сочинить так:
Заметим, что $\cos(2x)+ 2\cos x =2t^2+2t-1\geqslant -\frac{3}{2}$ (здесь $t=\cos x$), причем минимум достигается при $t=-\frac{1}{2}$.
Тогда:
$$f(\alpha)=\cos{8\alpha}+4\cos{4\alpha}+7\cos{2\alpha}+6\cos{\alpha}=$$
$$(\cos 8\alpha +2\cos 4\alpha)+(2\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha) +(3\cos 2\alpha +6\cos \alpha) \geqslant -9$$, и минимум достигается...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group