2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пример нестандартной параметризации плоской кривой
Сообщение20.11.2020, 18:32 


02/08/18
7
Привести пример инъективного и непрерывного отображения числового отрезка в плоскость, которое имеет разрывное обратное отображение. В ряде учебников условие непрерывности обратного отображения входит в определение непрерывной кривой. Но где типичный пример того, что это условие может не выполняться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нестандартной параметризации плоской кривой
Сообщение20.11.2020, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3588
Alexander Frumkin в сообщении #1493483 писал(а):
Привести пример инъективного и непрерывного отображения числового отрезка в плоскость, которое имеет разрывное обратное отображение.
Что, именно такая формулировка задания?
Такой пример привести невозможно.
Разве что если под "числовым отрезком" понимается вообще промежуток, например если годится полуинтервал. Тогда можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нестандартной параметризации плоской кривой
Сообщение22.11.2020, 11:58 


02/08/18
7
Добрый день!
Благодарю за подсказку к решению моей задачи.
Если промежуток $ [a, b) $ полузамкнут, то мы можем построить непрерывную параметризацию $X(t)$ «почти петли», такую, что при $t \rightarrow b$ $X(t)$ стремится к $X(a)$. Тогда в начальной точке $a$ обратная для $X$ функция будет разрывной.
Если промежуток $[a,b]$ замкнут, нужный мне пример действительно невозможно придумать. Предположим противное: для некоторой точки $c$ из $(a,b)$ функция обратная к $X$, имеет разрыв в точке $C=X(c)$. Тогда по определению разрыва мы можем найти $\varepsilon>0$, обладающее свойством: в промежутках $[a,c-\varepsilon]$, $[c+\varepsilon,b]$ найдется последовательность $t_n$, такая, что предел $X(t_n)$ есть $C$. Но $t_n$ должна иметь в объединении $[a,c-\varepsilon]$ и $[c+\varepsilon,b]$ некоторую предельную точку $s$. А так как $X$ непрерывна, то $X(s)=C=X(c)$, что противоречит инъективности $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нестандартной параметризации плоской кривой
Сообщение22.11.2020, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3588
Alexander Frumkin
Верно. Фактически, в своём рассуждении Вы пользуетесь компактностью отрезка $[a,b]$.
Согласно известной теореме (доказательство которой в частном случае отрезка Вы и написали), непрерывное взаимно-однозначное отображение компактного множества (в метрическое или даже в хаусдорфово топологическое пространство) имеет непрерывное обратное.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.11.2020, 12:36 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
11124
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.11.2020, 21:12 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
11124
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group