К проблеме 196

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1492892 писал(а):

В этом случае длины всех палиндромов равны (для палиндромов желаемого вами вида, без переносов), что вполне согласуется с обычным пониманием палиндромов. Но тогда гарантированно будут отсутствовать искомые вами решения (с палиндромом из цифр 0-4) для чисел с разной чётностью первой и последней цифры, ведь переносы в вашей схеме отсутствуют, а старшая и младшая цифра "условного палиндрома" должны быть одинаковы.

Если «решения (с палиндромом из цифр 0-4)» отсутствуют, то это приводит к решению части задачи дла случая представления с двоичным условным палиндромом. Только почему разной чётности, ведь условный двоичный палиндром (например, 01010) начинается с 0 и заканчивается 0. 0 чётное число, но 0 не участвует в переносах.

Dmitriy40 в сообщении #1492892 писал(а):

Плюс, для первых итераций вывод такой программы отличается от предыдущей лишь в двух случаях: 1675: (решение не найдено) и $[2,0,0,2,0,4,0,0,0,0]:18211171=[11100111]+[03555530]\cdot2$ (наоборот найдено). В остальных случаях длина второго палиндрома совпадает с длиной остальных и он не заканчивается на 0 и решения обеих программ идентичны. И тоже много пропусков с отсутствующими решениями.

$16575=101+787\cdot2$ , где 101 и 787 одинаковой длины, первая программа нашла.
$13783=11+6886\cdot2$,здесь первая программа выдала двоичное число длиной меньше найденного палиндрома, не дойдя до результата $13783=1111+6336\cdot2$.
Пропуск 187088. Первая программа выдала решение $187088=10+93539\cdot2$, не дойдя до результата $187088=1010+93039\cdot2$.
Пропуск 1067869. Первая программа нашла решение
$1067869=101101+483384\cdot2$.
Пропуск 10755470. Первая программа нашла решение
$10755470=0+5377735\cdot2$ и т.д.
Немного доработать бы первую программу в части нахождения двоичного палиндрома длиной равной первому палиндрому в представлении (разложении), учитывая и случай, когда двоичный палиндром равен 0, и пропусков не будет.

Dmitriy40 в сообщении #1492892 писал(а):

Всё это плавно подводит к вопросу который я хотел задать позже, когда Вы наконец определитесь какие же числа/палиндромы ищете: с чего Вы вообще постулировали существование представления чисел последовательности 196 в виде суммы двух палиндромов (с коэффициентом $2$ и палиндромов весьма специального вида)? Мне это как-то совсем не очевидно. Этот вопрос кем-то исследовался? Может исходный постулат о существовании таких палиндромов неверен и задача поиска их закономерности становится бессмысленной?

Да, у меня нет чёткого доказательства такого разложения (представления) чисел последовательности 196 до бесконечности. А только постулат, как Вы правильно заметили. Хотелось сначала посмотреть в какую последовательность выстраиваются палиндромы и есть ли смысл работать с этой последовательностью. Если смысл есть, то попытаться доказать этот постулат. А с пропусками можно справиться. Первая программа меня в этом убеждает.

[Dmitriy40]

kazvadim в сообщении #1493004 писал(а):

Только почему разной чётности,

Потому что (приведу пример): из числа 5...8 невозможно вычесть ни 0...0 ни 1...1 (ваши "условные палиндромы") чтобы получить и первую и последнюю цифру чётной одновременно, чтобы они обе разделились на 2 без переносов между цифрами (т.е. чтобы результат деления оказался лишь из цифр 0-4).

kazvadim в сообщении #1493004 писал(а):

Немного доработать бы первую программу в части нахождения двоичного палиндрома длиной равной первому палиндрому в представлении (разложении), учитывая и случай, когда двоичный палиндром равен 0, и пропусков не будет.

Я походу запутался какие должны быть палиндромы, потому сделал вывод вообще всех возможных:

(Очередная программа с её выводом)

x=196;
{while(x<1e25,
   d=digits(x); b=-2+x%2;
   printf("%d:", x);
   while(1,
      b+=2; v=digits(b,2); y=fromdigits(v); if(y>x, break);
      i=#v; while(i>1 && v[i]==0, i--); if(i<#v, v=concat(vector(#v-i),v));\\Расширим двоичный палиндром
      if(Vecrev(v)!=v, next);
      w=digits((x-y)/2);
      i=#w; while(i>1 && w[i]==0, i--); if(i<#w, w=concat(vector(#w-i),w));\\Расширим второй палиндром
      if(Vecrev(w)!=w, next);
      printf("  %d+%d*2",y,(x-y)/2); if(y==0 || #v==#w, print1(",!"));
   \\   break;\\Не останавливаемся на достигнутом, выводим все варианты
   );
   print;
   x+=fromdigits(Vecrev(d));
)}

196:
887:  101+393*2,!
1675:  101+787*2,!  1111+282*2
7436:  110+3663*2,!
13783:  11+6886*2  1111+6336*2,!
52514:  1010+25752*2,!  11110+20702*2
94039:  111+46964*2  1111+46464*2  11011+41514*2,!
187088:  10+93539*2  1010+93039*2,!
1067869:  101101+483384*2,!
10755470:  0+5377735*2,!  10000+5372735*2  101000+5327235*2  111000+5322235*2  10000010+377730*2  10010010+372730*2  10101010+327230*2  10111010+322230*2
18211171:  1100011+8555580*2  11100111+3555530*2,!
35322452:  11110+17655671*2  1100110+17111171*2,!
60744805:  10100101+25322352*2,!
111589511:  100001+55744755*2  10100101+50744705*2,!  111101111+244200*2
227574622:  0+113787311*2,!  100000+113737311*2  1010000+113282311*2  1110000+113232311*2
454050344:  111100+226969622*2  1101100+226474622*2,!
897100798:  111110+448494844*2  11000110+443050344*2,!
1794102596:  1000+897050798*2  101000+897000798*2,!
8746117567:  1000110001+3873003783*2,!
16403234045:  1111001111+7646116467*2,!
70446464506:  0+35223232253*2,!  10000000100+30223232203*2
130992928913:  100000001+65446464456*2  10100000101+60446464406*2,!
450822227944:  1111111100+224855558422*2,!
900544455998:  1100000110+449722227944*2  11100001110+444722227444*2,!
1800098901007:  1101111011+899498894998*2  111010010111+844544445448*2,!
8801197801088:  1000001000+4400098900044*2,!
17602285712176:  110110000+8801087801088*2,!
84724043932847:  10101111110101+37311466411373*2,!
159547977975595:  100001+79773988937797*2  10101111110101+74723433432747*2,!
755127757721546:  10000010000+377558878855773*2,!  110000110000+377508878805773*2  1000001000000+377063878360773*2  1100001100000+377013878310773*2
1400255515443103:  110000000000011+645127757721546*2,!
4413700670963144:  11010000101100+2201345335431022*2,!
8827391431036288:  110110110000+4413640660463144*2,!
17653692772973576:  100001000+8826846336486288*2  1010110101000+8826341331436288*2,!
85191620502609247:  10100111011100101+37545754745754573*2,!
159482241005228405:  11101000000010111+74190620502609147*2,!
664304741147513356:  11000101101000110+326652320023256623*2,!
1317620482294916822:  111000000001110+658754741147457856*2  1111000000011110+658254741147452856*2  11011000000110110+653304741147403356*2,!
3603815405135183953:  1111110100010111111+1246352652562536421*2,!
7197630720180367016:  110000110110000110+3543815305035183453*2,!
13305261530450734933:  10000001110000001+6647630764670367466*2  1010000110110000101+6147630710170367416*2,!
47248966933966985264:  100111100100000+23624433411433442632*2,!
93507933867933969538:  10000000000000010+46748966933966984764*2  1010000000000001010+46248966933966984264*2,!
177104867844767940077:  10011000111100011001+83546933866833964538*2,!
947154635293536341848:  1101100000001101100+473026767646767620374*2,!
1795298270686072793597:  101011000101000110101+847143635292536341748*2,!
9749270977546801719568:  100110000110010000+4874585433773345854784*2,!
18408442064004592449047:  1110101111111111010111+8649170476446740719468*2,!
92502871604050616929528:  10001100000110001000+46246435252025253464264*2,!
175095833209091234750057:  10010110001010001101001+82542861604040616824528*2,!
925153265399993573340628:  1000001111111100000100+462076632144441236670264*2,!
1751196640799987135692157:  1001110000000000111001+875097765399993567790578*2  101110110000000011011101+825043265399993562340528*2,!
9264161958699957602603728:  1011111100011111101000+4631575423799973245751364*2,!

Знаком "!" помечены случаи равенства длин палиндромов (или нулевого двоичного палиндрома).

Удивительным для меня оказалось что вариантов с одинаковой длиной только строго по одному. Похоже именно их Вы и хотели получить ... Хотя Ваша последовательность палиндромов из первого сообщения отличается от этой начиная с палиндрома $5372735/5377735$.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1493088 писал(а):

Я походу запутался какие должны быть палиндромы, потому сделал вывод вообще всех возможных:

...

Знаком "!" помечены случаи равенства длин палиндромов (или нулевого двоичного палиндрома).[/off]Удивительным для меня оказалось что вариантов с одинаковой длиной только строго по одному. Похоже именно их Вы и хотели получить ... Хотя Ваша последовательность палиндромов из первого сообщения отличается от этой начиная с палиндрома $5372735/5377735$.

Отлично! Спасибо! Именно такие палиндромы, помеченные знаком "!", и нужны.
Вручную и по рассеянности ошибся и с числом 10755470, и с числом 18211171, длины палиндромов не равны. Программа нашла правильное решение.

[Dmitriy40]

Что же, тогда сформулирую условие на эти палиндромы: они должны быть одинаковой длины, которая считается включая и старшие нули в количестве ровно как младших нулей (при этом двоичный палиндром может быть и нулевым).

Для поиска палиндрома с цифрами 0-4 автоматически отсекаются варианты чисел со старшей и младшей цифрами разной чётности, плюс оба палиндрома должны быть ровно той же длины (с учётом старших нулей) что и само число. А значит двоичный палиндром равен банально младшему биту каждой цифры исходного числа (или остатку от её деления на 2), а второй палиндром равен частному от деления каждой цифры на 2 (с округлением вниз). Чем это всё полезно не представляю.

На этом похоже мой вклад закончился, теперь нужны математики.
Для их удобства перечислю палиндромы в искомой последовательности:
$393$, $787$, $3663$, $6336$, $25752$, $41514$, $93039$, $483384$, $5377735$, $3555530$, $17111171$, $25322352$, $50744705$, $113787311$, $226474622$, $443050344$, $897000798$, $3873003783$, $7646116467$, $35223232253$, $60446464406$, $224855558422$, $444722227444$, $844544445448$, $4400098900044$, $8801087801088$, $37311466411373$, $74723433432747$, $377558878855773$, $645127757721546$, $2201345335431022$, $4413640660463144$, $8826341331436288$, $37545754745754573$, $74190620502609147$, $326652320023256623$, $653304741147403356$, $1246352652562536421$, $3543815305035183453$, $6147630710170367416$, $23624433411433442632$, $46248966933966984264$, $83546933866833964538$, $473026767646767620374$, $847143635292536341748$, $4874585433773345854784$, $8649170476446740719468$, $46246435252025253464264$, $82542861604040616824528$, $462076632144441236670264$, $825043265399993562340528$, $4631575423799973245751364$.
Кстати хорошая идея запостить их в OEIS (правда как их описать на иглише ещё придётся подумать).

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1493127 писал(а):

На этом похоже мой вклад закончился, теперь нужны математики.
...
Кстати хорошая идея запостить их в OEIS (правда как их описать на иглише ещё придётся подумать).

Dmitriy40, спасибо! Вы много сделали, чтобы правильно сформулировать постановку задачи и создали программу, а значит именно Вы получили решение, от меня была только идея.
Мне "запостить их в OEIS" уж совсем не по силам - ничего в этом не понимаю. К тому же это сделать можете только Вы, как автор решения.

[kazvadim]

Следующее базовое число Лишрел.
879:

$879+978=1857=101+878\cdot2$

$1857+7581=9438=0110+4664\cdot2$

$9438+8349=17787=1111+8338\cdot2$

$17787+78771=96558=01010+47774\cdot2$

$96558+85569=182127=10001+86063\cdot2$

$182127+721281=903408=001100+451154\cdot2$

$903408+804309=1707717=101101+803308\cdot2$

$1707717+7177071=8884788=0010100+4437344\cdot2$
и т.д.
Последовательность: $878, 4664, 8338, 47774, 86063, 451154, 803308, 4437344, ...$
Может быть сначала в этой последовательности вывести закономерность, так как она проще.
Палиндромы с нечётными номерами в последовательности не рассматриваем, так как они начинаются и заканчиваются цифрой 8.
Рассматриваем палиндромы с чётными номерами в последовательности. Ответим на вопрос, почему внутри таких палиндромов всегда найдётся цифра больше 4, и всё...

[Dmitriy40]

У меня снова другая последовательность получилась: $878$, $4664$, $8338$, $47774$, $85558$ (отличается), $451154$, $803308$, $4437344$, $8874788$, $37677673$, $74455447$, $329414923$, $658434856$, $1243883421$, $3596666953$, $6094444906$, $22588888522$, $45087778054$, $81265556218$, $453421124354$, $806852258608$, $4425424245244$, $8841858581488$, $37365444456373$, $74720488402747$, $376535383535673$, $644071868170446$, $2194334554334912$, $4384674004764834$, $8760454114540678$, $36524506360542563$, $73048023732084037$, $364534255552435463$, $639178402204871936$, $2575463524253645752$, $4061937158517391604$, $9124874317134784219$.
А, это у Вас ошибка, второе число $86063$ не палиндром.

(Программа та же, начальное число и вывод другой)

879:  11+434*2
1857:  101+878*2,!  1111+373*2
9438:  110+4664*2,!
17787:  11+8888*2  1111+8338*2,!
96558:  1010+47774*2,!  11110+42724*2
182127:  11011+85558*2,!
903408:  1100+451154*2,!
1707717:  1001+853358*2  101101+803308*2,!
8884788:  10100+4437344*2,!
17759676:  100+8879788*2  10100+8874788*2,!  111100+8824288*2
85455447:  10100101+37677673*2,!
159910905:  111111+79899897*2  11000011+74455447*2,!
668930856:  10101010+329414923*2,!
1326970722:  10101010+658434856*2,!
3597766953:  110000011+1743883471*2  1110000111+1243883421*2,!
7194444906:  1111000+3596666953*2,!  110000000+3542222453*2
13288889823:  1100000011+6094444906*2,!
46187778054:  1010001010+22588888522*2,!
91275556218:  1100000110+45087778054*2,!
172541113437:  10010001001+81265556218*2,!  110110011011+31215551213*2
906852258708:  10010000+453421124354*2,!
1714704517317:  1000000001+856852258658*2  101000000101+806852258608*2,!  1111000001111+301852258103*2
8851858591488:  1000+4425929295244*2  10001000+4425924295244*2  1010101000+4425424245244*2,!
17693817173076:  100000100+8846858586488*2  10100010100+8841858581488*2,!
84730989012747:  10000100100001+37365444456373*2,!
159452087916495:  10011111111001+74720488402747*2,!
754071868171446:  1001101100100+376535383535673*2,!
1398243736341903:  110100000001011+644071868170446*2,!
4489680109770834:  101011001101010+2194334554334912*2,!
8870459120640678:  101111111111010+4384674004764834*2,!
17630919340181466:  110011111100110+8760454114540678*2,!
84049023732085137:  11000011011000011+36524506360542563*2,!
157207047464179185:  11000000000011+78598023732089587*2  110010101010011+78548518681584587*2  11111000000011111+73048023732084037*2,!
739178512204881936:  10110001100011010+364534255552435463*2,!
1378366914420753873:  1010001111000101+688678456654876886*2  100010110011010001+639178402204871936*2,!
5161937158617392604:  11010110110101100+2575463524253645752*2,!
9224874327134784219:  1101000010100001011+4061937158517391604*2,!
18349748644369568448:  100000010100000010+9124874317134784219*2,!

PS. Похоже математикам эта тема не интересна ... Вероятно тоже не видят ни малейшей перспективы.

-- 19.11.2020, 10:37 --

kazvadim в сообщении #1493203 писал(а):

Палиндромы с нечётными номерами в последовательности не рассматриваем, так как они начинаются и заканчиваются цифрой 8.

Вовсе нет, это артефакт недостаточной выборки. Посмотрите как идёт дальше.

[kazvadim]

Dmitriy40. Да, программа исключает ошибки и выдаёт много чисел. Так что предположение о чётных, нечётных номерах сделал поспешно. Математиков подождём.
Для числа 1997 тоже было бы интересно посмотреть. Не удалось "запостить в OEIS"?

И всё-таки интересно, что числа Лишрел поддаются такому представлению.

[Dmitriy40]

kazvadim в сообщении #1493210 писал(а):

Не удалось "запостить в OEIS"?

Не то чтобы не удалось — скорее даже не пытался: моего английского слишком недостаточно для формулировки описания и условия на палиндромы.

kazvadim в сообщении #1493210 писал(а):

Для числа 1997 тоже было бы интересно посмотреть.

О, а вот тут интересно: много нулевых двоичных палиндромов, плюс посмотрите сколько вариантов разложения для $97776853724977768$:

Используется синтаксис Text

1997:
9988:  0+4994*2,!  1100+4444*2
18887:  1111+8888*2,!
97768:  0+48884*2,!  1000+48384*2  10100+43834*2  11100+43334*2
184547:  11011+86768*2,!
930028:  1100+464464*2,!  110000+410014*2
1750067:  1111+874478*2  110011+820028*2,!
9350638:  1110+4674764*2  110110+4620264*2,!
17711177:  1+8855588*2  10001+8850588*2  1010101+8350538*2,!  11111111+3300033*2
94822948:  0+47411474*2,!  10000100+42411424*2
179745797:  100001+89822898*2  10100101+84822848*2,!  111101111+34322343*2
977293768:  0+488646884*2,!  1010000+488141884*2  10001000+483646384*2  11011000+483141384*2  100000100+438646834*2  101010100+438141834*2  110001100+433646334*2  111011100+433141334*2
1844686547:  110101011+867292768*2,!
9301551028:  10000100+4645775464*2,!  1000010000+4150770514*2  1100011000+4100770014*2
17503102067:  11111111+8745995478*2  1100000011+8201551028*2,!
93523232638:  11101110+46756065764*2  111111110+46706060764*2  1101010110+46211111264*2,!
177146465177:  100000001+88523232588*2  10100000101+83523232538*2,!  111100001111+33023232033*2
948711106948:  0+474355553474*2,!  11000000+474350053474*2  100100000+474305503474*2  111100000+474300003474*2  100000000100+424355553424*2  100011000100+424350053424*2  100100100100+424305503424*2  100111100100+424300003424*2
1798312224797:  1001111001+898655556898*2  101110011101+848601106848*2,!
9772534363768:  1110000+4886266626884*2  11110000+4886261626884*2  110110000+4886212126884*2,!
18446168716547:  1101100011011+8672534352768*2,!
93007954881028:  101000010100+46453477435464*2,!
175026800851067:  111001100111+87457899875478*2  11011111111011+82007844870028*2,!
935184809471638:  110000000110+467537404735764*2  11110000011110+462037404730264*2,!
1771359717953177:  1+885679858976588*2  100000001+885679808976588*2  1000100010001+885179808971588*2  101010101010101+835174808471538*2,!  1111111111111111+330124303421033*2
9484956897484948:  0+4742478448742474*2,!  10010000000+4742473443742474*2  100001000000+4742428448242474*2  110011000000+4742423443242474*2  1000000000000100+4242478448742424*2  1000010010000100+4242473443742424*2  1000100001000100+4242428448242424*2  1000110011000100+4242423443242424*2
17979804884079797:  1010111111110101+8484846886484848*2,!
97776853724977768:  0+48888426862488884*2,!  1000000000+48888426362488884*2  10100000000+48888421812488884*2  11100000000+48888421312488884*2  10000000100000+48883426862438884*2  10001000100000+48883426362438884*2  10010100100000+48883421812438884*2  10011100100000+48883421312438884*2  100000000010000+48838426862483884*2  100001000010000+48838426362483884*2  100010100010000+48838421812483884*2  100011100010000+48838421312483884*2  110000000110000+48833426862433884*2  110001000110000+48833426362433884*2  110010100110000+48833421812433884*2  110011100110000+48833421312433884*2  1000000000001000+48388426862488384*2  1000001000001000+48388426362488384*2  1000010100001000+48388421812488384*2  1000011100001000+48388421312488384*2  1010000000101000+48383426862438384*2  1010001000101000+48383426362438384*2  1010010100101000+48383421812438384*2  1010011100101000+48383421312438384*2  1100000000011000+48338426862483384*2  1100001000011000+48338426362483384*2  1100010100011000+48338421812483384*2  1100011100011000+48338421312483384*2  1110000000111000+48333426862433384*2  1110001000111000+48333426362433384*2  1110010100111000+48333421812433384*2  1110011100111000+48333421312433384*2  10000000000000100+43888426862488834*2  10000001000000100+43888426362488834*2  10000010100000100+43888421812488834*2  10000011100000100+43888421312488834*2  10010000000100100+43883426862438834*2  10010001000100100+43883426362438834*2  10010010100100100+43883421812438834*2  10010011100100100+43883421312438834*2  10100000000010100+43838426862483834*2  10100001000010100+43838426362483834*2  10100010100010100+43838421812483834*2  10100011100010100+43838421312483834*2  10110000000110100+43833426862433834*2  10110001000110100+43833426362433834*2  10110010100110100+43833421812433834*2  10110011100110100+43833421312433834*2  11000000000001100+43388426862488334*2  11000001000001100+43388426362488334*2  11000010100001100+43388421812488334*2  11000011100001100+43388421312488334*2  11010000000101100+43383426862438334*2  11010001000101100+43383426362438334*2  11010010100101100+43383421812438334*2  11010011100101100+43383421312438334*2  11100000000011100+43338426862483334*2  11100001000011100+43338426362483334*2  11100010100011100+43338421812483334*2  11100011100011100+43338421312483334*2  11110000000111100+43333426862433334*2  11110001000111100+43333426362433334*2  11110010100111100+43333421812433334*2  11110011100111100+43333421312433334*2
184554796460845547:  11001111011110011+86776842724867768*2,!
930102861158301028:  1010110011010100+464546375573645464*2,!
1750206712326502067:  110001010010100011+820102851158201028*2,!
9352262944502522638:  1111011111011110+4675575966695755764*2  110010100010100110+4621126422246211264*2,!
17714514998995145177:  10000100100100001+8852257449447522588*2  1010010110110100101+8352252444442522538*2,!
94868674988936686948:  1011010000000+47434336988963343474*2,!
179837338977884373797:  10100011000011000101+84868663988936686848*2,!
977210827757718112768:  100110000011001000+488555358878853555884*2,!
1844422645515446125547:  110001010000010100011+867210817757718012768*2,!
9299639090670908370028:  11010000000000101100+4644314545335454134464*2,!
17500377181431817739957:  1011101000110001011101+8244638090660908364428*2,!
93494148994849995040528:  11000110001100011000+46741574442424447514764*2,!
175998208989699979189967:  11110111000000011101111+82444048994849984044428*2,!
945980188986689782089538:  10011111011110111110010+467984538987789835489764*2,!
1781960476973379663179087:  110000101000000101000011+835980187986689781089538*2,!
9591674146707176403870958:  100011011000001101100010+4745831567853587651385474*2,!
 

И вот тут уже больше похоже на чередование комбинаций 1..7 и 9..8. Но это снова артефакт, чередование нарушается на 47 итерации с числом $881244969311667212968443178$.
Последовательность палиндромов: $4994$, $8888$, $48884$, $86768$, $464464$, $820028$, $4620264$, $8350538$, $47411474$, $84822848$, $488646884$, $867292768$, $4645775464$, $8201551028$, $46211111264$, $83523232538$, $474355553474$, $848601106848$, $4886212126884$, $8672534352768$, $46453477435464$, $82007844870028$, $462037404730264$, $835174808471538$, $4742478448742474$, $8484846886484848$, $48888426862488884$, $86776842724867768$, $464546375573645464$, $820102851158201028$, $4621126422246211264$, $8352252444442522538$, $47434336988963343474$.
Второе разложение красиво: $1111+8888\cdot2$.

-- 19.11.2020, 12:01 --

Мои программы выше очень сильно не оптимальны: вместо полного перебора двоичного палиндрома вполне можно подбирать цифру за цифрой второй палиндром, там кажется даже перебор цифр не нужен, каждая определяется однозначно, правда из двух условий (на младшую и старшую одинаковые цифры в палиндроме). Так же однозначно определяется и длина палиндромов. Ну а двоичный строится по числу и второму палиндрому тоже однозначно. Конечно если нигде не ошибся в рассуждении.

[kazvadim]

Dmitriy40. По поводу английского. Математически грамотно написать это описание на русском. А хорошего переводчика, специализирующегося на переводах математических текстов, вполне можно найти (займусь этим).
В разложениях чисел последовательности 1997 палиндромы с нечётными номерами начинаются на 4, а с чётными на 8. Посмотрите, на какой итерации это прерывается.
Пожалуйста, научите меня, как запустить эту программу, а то я в этом ни бум-бум.

[Dmitriy40]

Ну так около 50-й итерации и прерывается (вот список самих чисел с номером итерации, его получить намного проще, но и его достаточно):

Используется синтаксис Text

45:90106139018666691994061098
46:179122188938333373087221207
47:881244969311667212968443178
48:1752589838524433326937885366
49:8388477234757777585327737937
50:15785854470615555159655486775
51:73554310165771106767101345526
52:136108620342531224523202691063
53:496304822667953359766229492694
54:992599745335906719532457896388
55:1876298499571824329066005891687

Видно что в 50-й итерации младшая (соответственно и старшая) цифра уже не 8, а 2 или 7 (на самом деле конечно 7, условие на старшую цифру). Нечётная серия прерывается на 49-й итерации с младшей и старшей цифрой в разложении не 4, а 3 или 8 (из старших понятно что 3).

Программы выше написаны на PARI/GP (а чтобы не качать ненужные 90мег можно взять отсюда версию gp32-readline-2-13-0.exe (или gp64 по вкусу и своей ОС, но gp32 у меня работает вчетверо быстрее, хотя ОС x64)), надо его скачать, распаковать (или установить) и запустить и вводить в него текст или читать его из файла командой \r file в самом PARI/GP. Программа консольная, не GUI или IDE, так что требует некоторых навыков.
На фороуме есть тема по нему: «интерактивный курс: введение в программирование на PARI/GP».

[kazvadim]

Dmitriy40. Спасибо. Программу запустил, но она постоянно считает. Подскажите, пожалуйста, как остановить, распечатать последовательность палиндромов и результаты сохранить в файле. \l file (пробовал на другой программке) пока не получается

[Dmitriy40]

Э, она не постоянно считает, а лишь до достижения 20-ти цифр в числе (или 21 или 25, не помню, условие в операторе while задано). Как досчитает, так и остановится. А если в конце добавить quit, то и выйдет обратно откуда запускали.
Когда она работает больше десятка секунд я обычно запускаю из командной строки вот так gp32 -q file.gp, а программу сохраняю в файл file.gp. Тут же можно сразу и направить вывод в любой файл стандартным способом gp32 -q file.gp >file.txt.

Чтобы печатались не все палиндромы, а лишь нужные Вам, надо изменить строку
printf(" %d+%d*2",y,(x-y)/2); if(y==0 || #v==#w, print1(",!"));
на строку
if(y==0 || #v==#w, printf(" %d+%d*2",y,(x-y)/2));
т.е. печать будет лишь желаемых палиндромов.

По идее \l file должна работать, но лучше указывать полный путь к файлу (включая и диск), иначе не очень понятно где именно будет создан файл (зависит от варианта запуска PARI).

И да, программа очень не оптимальна и работает долго, до 1e20 у меня считает десяток секунд, а до 1e25 уже несколько минут, до 1e30 не дождался (ближе к часу или даже больше).

В любом случае пока программа работает (и потом тоже) всегда можно мышкой щёлкнуть в системную иконку окна (в левом верхнем углу заголовка окна), выбрать пункт меню Изменить-Пометить и выделить мышкой область окна, которая будет скопирована в буфер обмена (clipboard), откуда её можно вставить в текстовый файл или ещё куда.

[Dmitriy40]

При переписывании программы натолкнулся на неизвестное мне ранее наблюдение: вовсе не любые комбинации старшей и младшей цифры возможны в последовательности. Проверил первые 10 тысяч итераций, попались лишь комбинации 1..X, N..N-1, N..N (со старшей 1 младшая цифра любая, с прочими старшими лишь или она же или на 1 меньше) и никаких других. Соответственно это должно повлиять и на распределение старшей/младшей цифры в ваших палиндромах.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1493386 писал(а):

При переписывании программы натолкнулся на неизвестное мне ранее наблюдение: вовсе не любые комбинации старшей и младшей цифры возможны в последовательности. Проверил первые 10 тысяч итераций, попались лишь комбинации 1..X, N..N-1, N..N (со старшей 1 младшая цифра любая, с прочими старшими лишь или она же или на 1 меньше) и никаких других. Соответственно это должно повлиять и на распределение старшей/младшей цифры в ваших палиндромах.

Чтобы знать, где смотреть. Это наблюдение за числами последовательности 196?
Пригляделся, вроде эти. Вот просеять бы последовательность, оставив только те числа (и их номер итерации), где старшая цифра равна младшей , тогда круг поиска закономерности немного сузится. И опять тороплюсь. Все три последовательности (1..X, N..N-1, N..N) полезно рассмотреть по отдельности. Вместе с разложениями на палиндромы.
Да, и ещё числа с нулём в последней цифре можно отнести как к последовательности N..N, так и к последовательности N..N-1. Здесь может помочь случай, когда одно из таких чисел выпадет из последовательности N..N-1.