Кривые прямые пространства?

[Dmitriy40]

Всех приветствую.
Одной из соседних тем навеян вопрос: верно ли что плоским может быть не только пространство в виде плоскости, цилиндра и конуса (что в общем общеизвестно), но и любое другое, свёрнутое (или загнутое) лишь по одной координатной оси но произвольным образом (разумеется без самопересечений)? Особые точки типа вершины конуса исключаем. Конус правда сюда не подходит, там координатная ось ещё и изгибается, но хотя бы с "цилиндрами" понять прав ли.

Собственная попытка ответить: ну, вроде как плоским считается пространство, которое без искажений (возможно кроме как в особых точках, которых понятно не слишком много) можно развернуть на плоскость, или, что эквивалентно, свернуть плоскость в них. Тут нет указания на вид образующей по которой сворачивается плоскость и значит применимо для любых плоских кривых (да, без самопересечений и разрывов и чего там ещё). Ну и чисто так, визуально, не видно разницы между цилиндром (с образующей окружностью) и к примеру параболой в качестве образующей, и то и другое разворачивается в плоскость без искажений.

Вопрос вроде банальный, но не помню чтобы где-то явно упоминался, в отличие от цилиндра с конусом.

PS. Модераторам: вопрос скорее таки физический, на математическую строгость не потяну.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1492161 писал(а):

ну, вроде как плоским считается пространство, которое без искажений (возможно кроме как в особых точках, которых понятно не слишком много) можно развернуть на плоскость

Это верно. На практике это можно определять с помощью так называемой гауссовой кривизны (если речь идет об обычных поверхностях в трехмерном пространстве). Дело в том, что она сохраняется при таких изгибаниях (изометриях). Если гауссова кривизна поверхности равна нулю, то поверхность плоская.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1492161 писал(а):

любое другое, свёрнутое (или загнутое) лишь по одной координатной оси но произвольным образом (разумеется без самопересечений)?

А чем это отличается от цилиндра? Или, точнее, от $S^1\times \mathbb{R}^n$?

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1492162 писал(а):

На практике это можно определять с помощью так называемой гауссовой кривизны (если речь идет об обычных поверхностях в трехмерном пространстве). Дело в том, что она сохраняется при таких изгибаниях (изометриях). Если гауссова кривизна поверхности равна нулю, то поверхность плоская.

Да, раз там произведение, то при одной нулевой кривизне остальные координатные оси можно сворачивать как угодно, понимаю, спасибо.
Для конуса кажется всё равно не работает, ну да и ладно.

Geen в сообщении #1492165 писал(а):

А чем это отличается от цилиндра? Или, точнее, от $S^1\times \mathbb{R}^n$?

В плане топологии видимо ничем (если я правильно понимаю запись). А вообще цилиндр — тело "правильной" формы, а "мятый" в радиальном направлении цилиндр уже не совсем очевидно что тоже плоский (разворачивается в плоскость).

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1492203 писал(а):

Для конуса кажется всё равно не работает

Как не работает? Берем точку на конусе (не вершину, конечно), берем нормальный вектор в ней, проводим через него всевозможные плоскости (нормальные плоскости), вычисляем кривизны всех нормальных сечений и выбираем максимальную и минимальную из них. Вот минимальная будет равна нулю (это когда нормальная плоскость проходит через образующую конуса). Так что гауссова кривизна равна нулю, как и должно быть.

Полезно сообразить, почему для поверхности гиперболоида ("седло") это уже не так, хотя на этой поверхности, как и на конусе, тоже есть прямые.

[Legioner93]

Geen в сообщении #1492165 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1492161 писал(а):

любое другое, свёрнутое (или загнутое) лишь по одной координатной оси но произвольным образом (разумеется без самопересечений)?

А чем это отличается от цилиндра? Или, точнее, от $S^1\times \mathbb{R}^n$?

Второй квадратичной формой

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1492204 писал(а):

Как не работает? Берем точку на конусе (не вершину, конечно), берем нормальный вектор в ней, проводим через него всевозможные плоскости (нормальные плоскости), вычисляем кривизны всех нормальных сечений и выбираем максимальную и минимальную из них. Вот минимальная будет равна нулю (это когда нормальная плоскость проходит через образующую конуса). Так что гауссова кривизна равна нулю, как и должно быть.

С конусом меня смутило что для разных точек эти прямые будут разные (и не параллельные).
С гиперболоидом как раз понятно, там вдоль прямой гауссова кривизна не нулевая так как главные кривизны не совпадают с прямой (возможно за исключением одной или двух точек).

[sergey zhukov]

Dmitriy40
Плоское пространство (речь о двумерной поверхности для наглядности) может иметь самую разную форму. Конус, цилиндр и плоскость - это самые простые из таких форм. Фактически все, что можно сделать из листа бумаги (если не насиловать ее совсем уж немилосердно) - это плоское пространство. Например - любая фигурка оригами. Или лента Мебиуса. Даже мятые конус и цилиндр. Даже просто комок мятой бумаги.

Вершины тоже бывают разные, в том числе и плоские. Например, нарисуйте на бумаге круг и разделите его на шесть одинаковых секторов. Получится шесть радиальных границ. Четные границы загните внутрь, а нечетные - наружу. Получится фигура вроде трехконечной звезды. В центре ее получится вершина с нулевой кривизной.

[Утундрий]

Dmitriy40 в сообщении #1492161 писал(а):

ну, вроде как плоским считается пространство, которое...

Вот если бы да без "вроде", то можно пытаться ответить.

[Dmitriy40]

Утундрий
"Вроде как" появилось из-за неуверенности что смог бы сформулировать то же самое формулами. Плюс понимаю что не хватает некоторых слов типа "без растяжений/сжатий, разрывов и накладок, непрерывным образом" и тому подобных. Плюс не смог внятно определить сколько же может быть точек исключений чтобы пространство не оказалось лишь из них одних — понятно что счётное точно может, а насчёт континуума совсем не уверен. Вот из-за недостаточной строгости и добавил "вроде как". И потому же не в математическом разделе.

[Утундрий]

Если речь о двумерных "пространствах", то лучше спросить жестянщика. Вроде бы кроме цилиндров, конусов и торсов никаких других развёртываемых поверхностей не бывает.

[Sicker]

Dmitriy40 в сообщении #1492161 писал(а):

верно ли что плоским может быть не только пространство в виде плоскости, цилиндра и конуса

Конус только локально плоский

[sergey zhukov]

Утундрий в сообщении #1492355 писал(а):

Вроде бы кроме цилиндров, конусов и торсов никаких других развёртываемых поверхностей не бывает.

Насколько гибким без сжатий и растяжений может быть двумерное плоское пространство, видно из такого простого примера. Возьмем множество маленьких равнобедренных прямоугольных треугольников и уложим их в плотный паркет на плоскости. Соединим все общие вершины треугольников шарнирно. Какие формы может принять это безусловно плоское пространство? Самые разные. Например, такую:

[пианист]

Ага. Или такую :rofl:

[Legioner93]

sergey zhukov
Но ваша поверхность почти везде совпадает с плоскостью, а где не совпадает -- недифференцируема