Кривые прямые пространства?

[sergey zhukov]

Legioner93
Это верно, конечно. Не совсем я правильно сказал. Любая поверхность без внутренней кривизны представляется состоящей из кусков торсовых поверхностей, сопряженных по граням, в которых есть излом.

Но в вершинах и гранях излома такой поверхности ее внутренняя кривизна все равно остается определенной и нулевой. Всегда ведь можно построить малый треугольник в любой точке поверхности, в том числе и на грани и на вершине и измерить предел отношения отклонения суммы его углов от $\pi$ к его площади при бесконечном уменьшении треугольника. Он равен нулю.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1492409 писал(а):

Любая поверхность без внутренней кривизны представляется состоящей из кусков торсовых поверхностей, сопряженных по граням, в которых есть излом.

Всё же вопрос ТС был не про поверхность, а про пространство, по всей видимости, метрическое. А в нём изломы недопустимы.

Но вообще говоря ничто не мешает замкнуть плоское пространство, например, в тор.

[Dmitriy40]

Этот вопрос про изломы тонкий и мне пока непонятный. Я пока ещё почитаю его обсуждение тут ...

realeugene в сообщении #1492466 писал(а):

Но вообще говоря ничто не мешает замкнуть плоское пространство, например, в тор.

А разве у него гауссова кривизна нулевая?! Как-то Вы совсем иначе понимаете плоское пространство, для меня это развёртка которого плоская. С изломами пока сложно.

[Утундрий]

Dmitriy40 в сообщении #1492470 писал(а):

разве у него гауссова кривизна нулевая?!

Смотря где замыкать. Если в 4-D, то может быть и нулевая.

[Dmitriy40]

Чудеса. Выглядит как аналогия "замыкания" прямой в 3D с нулевой кривизной получившейся кривой ... Хорошо что я вовремя одумался (прочитав вики про гауссову кривизну) и не стал лезть в высшие размерности.

[realeugene]

Dmitriy40 в сообщении #1492470 писал(а):

Вы совсем иначе понимаете плоское пространство, для меня это развёртка которого плоская.

Я его понимаю как дифференциальное многообразие произвольной размерности с нулевым тензором кривизны. Даже двумерные они могут быть топологически неэквивалентными и не покрываться одной картой. Но их всегда можно вложить в евклидово пространство достаточно большой размерности.

Собственно уже обычный цилиндр одной картой покрыть и нельзя.

[sergey zhukov]

Dmitriy40 в сообщении #1492470 писал(а):

А разве у него гауссова кривизна нулевая?! Как-то Вы совсем иначе понимаете плоское пространство, для меня это развёртка которого плоская. С изломами пока сложно.

Все вы правильно понимаете. Плоское пространство - это такое, которое можно на плоскость наложить.

Когда говорят "замкнуть плоское пространство в тор", то имеется ввиду очень простая вещь. Такие замкнутые в тор плоские пространства очень любят в разных простых компьютерных играх, когда персонаж заходит за край экрана справа и появляется из-за левого края экрана (и то же самое с верхом и низом). Для такого замыкания двумерного пространства нет наглядной трехмерной картинки. Но достаточно просто взять квадратный плоский кусок двумерной поверхности и отождествить его противоположные стороны (считать их буквально одним и тем же отрезком). Все, пространство плоское и замкнутое (в данном случае в тор).

Изломы, по крайней мере на плоскости, могут быть двух видов - ребра и вершины. На ребрах ничего интересного не происходит. Ясно, что лист бумаги всегда можно сложить вдоль прямой, а потом разложить обратно. Ребра для внутренней геометрии, для которой важна именно гауссова кривизна, вообще просто не существуют.

Вершины - это другое. Тут важна сумма всех углов, сходящихся в данной вершине. Если она равна $2\pi$ - вершина плоская. Такую поверхность я приводил в пример выше (из маленьких треугольничков). У нее все вершины плоские, так что с точки зрения внутренней геометрии это просто самая настоящая плоскость без каких-то особых точек и изломов.

А вот если в вершине сумма сходящихся углов меньше или больше $2\pi$, то такая вершина на плоскости уже не разложиться, а поверхность, содержащая такие вершины, не будет плоской. Если взять искривленную поверхность и приблизить ее полигональной поверхностью (из кусочков плоскостей), то кривизна исходной поверхности как-бы концентрируется в точках вершин, а ее величина пропорциональна отклонению суммы углов в вершине от $2\pi$. Если сумма углов меньше - кривизна в вершине положительна, если больше - отрицательна.

[Someone]

Легко написать параметрические уравнения плоского тора в четырёхмерном пространстве ($0\leqslant\varphi\leqslant 2\pi,0\leqslant\psi\leqslant 2\pi$):

$$\begin{cases}x_1=\cos\varphi,\\ x_2=\sin\varphi,\\ x_3=\cos\psi,\\ x_4=\sin\psi.\end{cases}$$

[пианист]

Забавная вещь.
Помимо того, что плоская (изометрична плоскости), так она еще и лежит на $S^3$!
Совершенно не получается все это себе наглядно представить.

[Утундрий]

пианист в сообщении #1492598 писал(а):

Совершенно не получается все это себе наглядно представить.

Прямое произведение двух окружностей же...

[пианист]

Так-то да.
Но я не могу себе представить, как оно размещается в 4D.
Наверное, сказывается нехватка 4D воображения ;)
Интересно, насколько типичны в 4D гиперповерхности, нарезаемые на плоские 2D многообразия, аналог линейчатых поверхностей в обычном пространстве..
upd Еще, конечно, в этой связи: слоение Риба, которое клиффордов тор делит на две половинки.

[sergey zhukov]

sergey zhukov в сообщении #1492549 писал(а):

Для такого замыкания двумерного пространства нет наглядной трехмерной картинки.

Кстати, почему же нет? Вот простая иллюстрация:

При сплющивании тора он превращается в два цилиндра один в другом, склеенных по границам. Такое пространство всюду плоское, и в местах склейки тоже. Это и есть двумерное плоское пространство, замкнутое в тор.

[пианист]

Век живи - век учись!™
Оказывается, плоский ${\mathbb T}^2$ можно гладко вложить и в ${\mathbb R}^3 $ тоже!!!
Тут мое пространственное воображение уходит в глубокий минус