Отношение сравнимости по модулю

[Kset]

Я окончательно лишился сна и покоя и вроде понимаю как вычислить$[2]^{100} \equiv 1( mod 125 ) [2]^{100} \equiv 376( mod 1000 )$ по отдельности. Что 376 \equiv 1 ( mod 125)$( можно ли так вообще писать ведь 376 вроде не относится к кольцу Z125?). Но чего я не понимаю : ПОЧЕМУ???? у Винберга( Курс алгебры) на 27 странице в 1.6 написано что из-за того $[2]^{100}$ \equiv 1 ( mod 125 ) ДЕЛИТСЯ НА 8 можно получить такой результат для кольца Z1000.????

[iou]

125 и 8 взаимно просты, поэтому $\mathbb{Z}/1000 \simeq \mathbb{Z}/125 \times \mathbb{Z}/8$ и отображение слева направо устроено очень просто, нужно просто сопоставить элементу $x$ пару его редукций по модулям 125 и 8. Мы хотим найти элемент $x$, который переходит в $(1, 0)$, то есть элемент, который имеет вид $125k+1$ и делится на 8. Можно перебрать руками, поиск не очень долгий, поскольку $k < 8$ или же заметить, что $125k+1 \equiv 5k+1 \mod 8,$ поэтому если $5k+1 \equiv 0 \mod 8,$ то $k \equiv 7/5 \equiv 7 * 5 \equiv 35 \equiv 3 \mod 8,$ поэтому искомый остаток это $125*3+1=376.$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- не надо расставлять лишние знаки препинания, понятнее текст от этого не становится.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.