Элементарные преобразования строк в матрице

[Marmelad]

В 13 издании курса аналитической геометрии и линейной алгебры под авторством Беклемишева приведено следующее правило преобразования строк: "Каждое элементарное преобразование строк матрицы A размеров mxn равносильно умножению A слева на некоторую квадратную матрицу S порядка m. При этом S не зависит от A, а полностью определяется преобразованием, которое она осуществляет. Действительно, пусть мы хотим преобразовать i-ю строку A, оставив остальные строки неизменными. Для этого всилу предложения 1 нужно, чтобы все строки матрицы S были строками единичной матрицы с соответствующими номерами, то есть чтобы S отличалась от единичной матрицы только i-й строкой. А i-я строка S должна состоять из коэффициентов той линейной комбинации строк матрицы A, на которую мы хотим заменить i-ю строку A".
Не могу понять смысл последнего предложения.
Например, умножаем единичную матрицу $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\qquad$ на матрицу(1) $\begin{bmatrix}a & b\\m & d\end{bmatrix}\qquad$ и по правилу умножения матриц получаем последнюю-$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\qquad$$\cdot$$\begin{bmatrix}a & b\\m & d\end{bmatrix}\qquad$ $=\begin{bmatrix} a\cdot1+0\cdotсm & 1\cdot b+0\cdot d \\0\cdot a+1\cdot c & 0\cdot b+1\cdot d\end{bmatrix}\qquad$$=$\begin{bmatrix}a & b\\m & d\end{bmatrix}\qquad$
Далее эмпирически приходим к тому, что $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\qquad$$\cdot$$\begin{bmatrix}a & b\\m & d\end{bmatrix}\qquad$ $=\begin{bmatrix}a & b\\2m & 2d\end{bmatrix}\qquad$
Линейная комбинация строк-это $\sum\limits_{i=1}^{k}$$\alpha i $$Ai$, где $Ai$-номер строки, а $\alpha i $-произвольный коэффициент. А вторая строчка последней матрицы, вопреки определению, не состоит из линейной комбинации строк(суммы), а состоит из элементов матрицы, полученных из линейной комбинации элементов столбцов матрицы(1).
Помогите понять что хотел донести Беклемишев этим предложением: А i-я строка S должна состоять из коэффициентов той линейной комбинации строк матрицы A, на которую мы хотим заменить i-ю строку A"

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

По поводу формул: во-первых, не надо разбивать одну формулу на части, доллары должны быть только в начале и конце формулы целиком. Во-вторых, откройте для себя окружение pmatrix и способ набора нижних индексов.

[RIP]

Marmelad в сообщении #1488940 писал(а):

А вторая строчка последней матрицы, вопреки определению, не состоит из линейной комбинации строк(суммы)

Вторая строчка последней матрицы равна линейной комбинации строк: если первую строчку матрицы (1) умножить на $0$, а вторую — на $2$, то получится $0\cdot(a,b)+2\cdot(m,d)=(2m,2d)$ — как раз то, что надо. И вообще,

$$\begin{pmatrix}1&0\\\lambda&\mu\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\\lambda a+\mu c&\lambda b+\mu d\end{pmatrix}.$$

Вторая строчка как раз такая, какая нужна: $\lambda\cdot(a,b)+\mu\cdot(c,d)$.

[Pphantom]

И не надо дублировать темы. Ответ RIP из второй темы я перенес сюда, вторая тема удалена.