Уточнение деталей комбинаторного метода

[kthxbye]

Кроме ГП (Гамильтоновы пути) ладьи я интересовался также вопросом ГЦ (Гамильтоновы циклы). Для ладьи $n\times2$ результат размещен вот тут - A276356. Результат базируется на двух подпоследовательностях, которые связаны с ГП ладьи $n\times2$, где мы начинаем на определенной строке клеток и заканчиваем либо на той же строке, либо на противоположной, откуда и вытекают две подпоследовательности (подробнее мои комментарии к A001040 и A001053). В то же время результат по ГЦ совпадает с другой комбинаторной задачей - A089039. Мне бы хотелось обратиться к помощи с целью уточнить некоторые детали.

Суть задачи (или проблемы) состоит в следующем: существует $2n$ людей, которые представляют собой $n$ женатых пар. Их нам необходимо рассадить за столом таким образом, что персоны противоположного пола не могут сидеть рядом друг с другом за одним исключением - сидеть рядом разрешается, только если они супруги. В A089039 имеется ссылка (http://kurihara.sansu.org/sansu1-3/380.html) на разбор данной задачи, но даже с переводчиком я понял далеко не все.

Автор статьи рассуждает следующим образом. Пусть $k$ - число пар размещаемых супружеских пар (т.е. мы размещаем $2k$ мужчин и $2k$ женщин). Выбрать их можно

$\binom{n}{2k}$

способами. Далее идут какие-то манипуляции с $(2k-1)!\cdot2!$ которые мне и хотелось бы уточнить. После чего мы всаживаем между мужчинами новых мужчин. Первого мужчину из $n-2k$ оставшихся мы всаживаем $k$ способами, второго из $n-2k-1$ оставшихся мы всаживаем $k+1$ способами. Сумма числа мужчин и способов их размещения равна всегда $n-k$, тогда

$n-2k$ $\to$ $k$ в сумме $(n-k)$
$n-2k-1$ $\to$ $k+1$ в сумме $(n-k)$
$n-2k-2$ $\to$ $k+2$ в сумме $(n-k)$
...
$1$ $\to$ $n-k-1$ в сумме $(n-k)$

Отсюда имеем

$\frac{(n-k-1)!}{(k-1)!}$

способов дополнительно разместить мужчин между мужчинами. Аналогично с женщинами. Непонятным отсается нюанс, связанный с $(2k-1)!\cdot2!$. Что это вообще может быть и какой смысл в данной операции?

[kthxbye]

Сообразил, но не уверен что абсолютно корректно. По логике разместить $2k$ пар мы можем $(2k)!$ способами, однако т.к. пары сидят за столом, то некоторые размещения тождественны, а именно

$1234-2341-3412-4123$
$1243-2431-4312-3124$
...
$1432-4321-3214-2143$

следовательно сокращаем на $2k$. А $2!$ - это когда мы размещаем пары за столом начиная с мужчины либо с женщины. Вроде бы все укладывается в рамки задачи. Насколько эти догадки могут быть корректны?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»