2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 00:37 


03/10/20
7
Каков критерий того, что целочисленная матрица имеет целочисленную обратную? Предложите доказательство.

Я понял, что определитель матрицы должен быть кратен 1 или -1, ибо какое еще число имеет целочисленную обратную? Но вопрос в том как это нормально доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Какое равенство для определителей следует из $A^{-1}A=E$ ?
Ingv0rr в сообщении #1485544 писал(а):
определитель матрицы должен быть кратен 1 или -1
Что значит «кратен 1»? Что определитель целочисленный? Или что он равен $1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 10:09 


03/10/20
7
svv в сообщении #1485546 писал(а):
Какое равенство для определителей следует из $A^{-1}A=E$ ?
Ingv0rr в сообщении #1485544 писал(а):
определитель матрицы должен быть кратен 1 или -1
Что значит «кратен 1»? Что определитель целочисленный? Или что он равен $1$?


Да, равен, извините, опечатался. Ну а равенство означает, что их определители обратны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 10:13 


14/02/20
872
Ingv0rr в сообщении #1485563 писал(а):
их определители обратны

А произведение каких целых чисел даёт $1$? Или, иначе говоря, какие два целых числа обратны друг другу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 10:41 


03/10/20
7
artempalkin в сообщении #1485564 писал(а):
Ingv0rr в сообщении #1485563 писал(а):
их определители обратны

А произведение каких целых чисел даёт $1$? Или, иначе говоря, какие два целых числа обратны друг другу?



Произведение 1 на 1 или -1 на -1.

-- 03.10.2020, 10:44 --

Но почему из $A^{-1}A=E$ следует обратность определителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А как связан определитель произведения с определителями сомножителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 10:57 


03/10/20
7
Brukvalub в сообщении #1485568 писал(а):
А как связан определитель произведения с определителями сомножителей?


detAB = detA*detB

Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ingv0rr в сообщении #1485569 писал(а):
Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

А что такое определитель?

Есть разные его эквивалентные определения. И некоторые из них недвусмысленны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:08 


03/10/20
7
ewert в сообщении #1485570 писал(а):
Ingv0rr в сообщении #1485569 писал(а):
Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

А что такое определитель?

Есть разные его эквивалентные определения. И некоторые из них недвусмысленны.


На данный момент я понимаю, что определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками, определяемыми числом инверсий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ingv0rr в сообщении #1485572 писал(а):
На данный момент я понимаю, что определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками, определяемыми числом инверсий.

Можно и так. Но если так, то Ваш предыдущий вопрос выглядит крайне странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:15 
Заблокирован


16/04/18

1129
Вроде, раз определитель $\pm 1$, алгебраические дополнения целочисленны, то и обратная целочисленная? То есть условия на определитель достаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
novichok2018 в сообщении #1485576 писал(а):
Вроде, раз определитель $\pm 1$, алгебраические дополнения целочисленны, то и обратная целочисленная? То есть условия на определитель достаточно?

Да, это верно, но это про обратное утверждение критерия. А там был странный вопрос про утверждение в другую сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:31 


03/10/20
7
ewert в сообщении #1485570 писал(а):
Ingv0rr в сообщении #1485569 писал(а):
Но как понять, почему за целочисленной матрицей обязательно стоит целочисленный определитель?

А что такое определитель?

Есть разные его эквивалентные определения. И некоторые из них недвусмысленны.


А можете сказать про то определение, о котором вы говорите?

-- 03.10.2020, 11:38 --

ewert в сообщении #1485573 писал(а):
Ingv0rr в сообщении #1485572 писал(а):
На данный момент я понимаю, что определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками, определяемыми числом инверсий.

Можно и так. Но если так, то Ваш предыдущий вопрос выглядит крайне странно.


Что вы имеете в виду под странно?

-- 03.10.2020, 11:49 --

Т.е. при определителе равном 1 или -1 обязательно будет целочисленная матрица? Значит какого нибудь умножения, например, 2 на 1/2 не может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
Ingv0rr в сообщении #1485582 писал(а):
Что вы имеете в виду под странно?
Ну, ewert — очень вежливый человек. У меня так вообще глаза на лоб вылезли. Ведь из вашего "пересказа" определения
Ingv0rr в сообщении #1485572 писал(а):
определитель - это сумма произведений элементов матрицы из разных строк и разных столбцов, со знаками…
целочисленность определителя матрицы с целочисленными элементами мгновенно следует. Даже непонятно, что тут можно Вам объяснять.
Вы вообще что-нибудь про суммы и произведения целых чисел можете сказать? Например, может ли сумма или произведение целых чисел равняться $0{,}5$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целочисленная обратная матрица
Сообщение03.10.2020, 13:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Я подозреваю, что Ingv0rr никак не может решить, что же он пытается доказать: что из единичности определителя следует целочисленность обратной или что наоборот.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group