Релят. аберрация наблюдателя с постоянным собственным ускор.

[sergey zhukov]

Наблюдатель с постоянным собственным ускорением $a$ стартует в точке $x=0$ и движется по прямой по направлению к кольцу (его плоскость перпендикулярна траектории наблюдателя), через которое он хочет пролететь. Кольцо находится на расстоянии $x_0$ и имеет радиус $R$.
Требуется найти угол $\beta$, под которым ускоренный наблюдатель видит полукольцо, как функцию $x$.

Решение такое: Положим, $c=1$. Из формул для наблюдателя с постоянным собственным ускорением:

$$x=\sqrt{t^2+\frac{1}{a^2}}-\frac{1}{a}$$

$$u=\frac{at}{\sqrt{1+(at)^2}}$$

исключаем время и получаем:

$$u=\sqrt{\frac{(ax)^2+2ax}{1+(ax)^2+2ax}}$$

Угол $\alpha$, под которым полукольцо видит неподвижный в точке $x$ наблюдатель, есть:

$$\cos(\alpha)=\frac{(x_0-x)}{\sqrt{(x_0-x)^2+R^2}}$$

Тогда угол $\beta$, как функция $x$ определяется из:

$$\tg(\beta)=\frac{\sin(\alpha)}{u+\cos(\alpha)}\sqrt{1-u^2}$$

Подставив сюда $u, \sin(\alpha), \cos(\alpha)$ как функции $x$, получим:

$$\tg(\beta)=\frac{\sqrt{\frac{R^2}{((x_0-x)^2+R^2)(1+S)}}}{\sqrt{\frac{S}{1+S}}+\frac{x_0-x}{\sqrt{(x_0-x)^2+R^2}}}$$

где

$$S=(ax)^2+2ax$$

Зависимость $\alpha$ и $\beta$ от $x$ имеет вид:

Красная линия - угол (в радианах), под которым видит полукольцо из данной точки неподвижный наблюдатель, синяя - ускоренный. Углы $\alpha$ и $\beta$ всегда откладываются от направления скорости.
Если ускорение мало, эти кривые слабо различаются. Если велико, то видно, что угловые размеры кольца для ускоренного наблюдателя имеют при $x\to\infty$ предел, который не превышает даже $\frac{\pi}{2}$ (к сожалению, я не знаю, как найти этот предел точно).
Получается, что ускоренный наблюдатель никогда не увидит кольцо позади себя. Оно всегда будет находится спереди по курсу, как бы долго он ни ускорялся. Правильно ли это?

[svv]

Правильно. Механизм довольно понятен с точки зрения неподвижного наблюдателя.

Пусть движущийся наблюдатель («астронавт») уже миновал кольцо ($x>x_0$). Будет ли для него $\beta$ меньше или больше $\frac{\pi}{2}$, определяется знаком $u+\cos\alpha$. Будем говорить, что при $u<-\cos\alpha$ фотон догоняет астронавта, а при $u>-\cos\alpha$ астронавт догоняет фотон. Эти неравенства имеют простую интерпретацию для неподвижного наблюдателя: будет ли скорость астронавта меньше или больше $x$-компоненты скорости фотона.

При достаточно большом ускорении возникает такой эффект. Когда астронавт только-только пролетел кольцо (угол $\alpha$ лишь немного больше $\frac{\pi}2$), фотон не может его догнать, потому что имеет слишком малую $x$-компоненту скорости. Когда же астронавт улетел далеко, и $\alpha$ приближается к $\pi$, фотон опять не может его догнать, потому что теперь астронавт движется слишком быстро (и всё быстрее).

[wrest]

(sergey zhukov)

Хочу спросить что именно понимается под "наблюдатель видит предмет под углом" -- это значит что наблюдатель имеет оптический регистратор угла падающих фотонов (условно говоря, имеет глаз, если он живой)?
P.S. У меня картинка не грузится.

[sergey zhukov]

(wrest)

Нет, видеть под углом может и обычная видеокамера. Т.е. под таким углом к направлению движения наблюдателя в точке наблюдения нужно установить трубу, чтобы луч света от объекта прошел ее насквозь. Это и есть "угол, под которым наблюдатель видит объект". Проблемы с картинкой - что-то временно не так на сервере хранения картинок

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1484138 писал(а):

Т.е. под таким углом к направлению движения наблюдателя в точке наблюдения нужно установить трубу, чтобы луч света от объекта прошел ее насквозь.

Ваша труба изогнута, чтобы луч проходил через неё, несмотря на ускорение трубы?

[sergey zhukov]

realeugene
Изменением скорости наблюдателя в процессе прохождения света через трубу пренебрегаем. В другой раз можно это подробнее разобрать.

[sergey zhukov]

svv
Я так понял, что предельный угловой размер кольца возникает из-за появления горизонта событий ускоренного наблюдателя.
Если астронавт в точке $x=0$ начал прямолинейное движение с собственным ускорением $a$, то за его спиной на расстоянии $\frac{1}{a}$ возникает плоскость горизонта событий (которая впоследствии движется за ним со скоростью света $c=1$ и настигает его в бесконечности). Она перпендикулярна скорости астронавта:

Представим, что на расстоянии $\frac{1}{a}$ за астронавтом, который начинает ускоряться, находится материальная бесконечная плоскость. Тогда в начале движения $t=0$ она находится на горизонте событий. Все события на этой плоскости при $t=0$ (для неподвижного наблюдателя) астронавт увидит при $t=\infty$ по собственному времени под углом, который определяется пределом $\lim_{x\to \infty} \beta$.
Если мы вычислили $\lim_{x\to \infty} \beta$ и считаем, что поперечные размеры для астронавта остаются теми же, что и для неподвижного наблюдателя, то можно в каком-то смысле говорить о том, где астронавт увидит эти события. Если в системе неподвижного наблюдателя событие на плоскости имело координаты $t=0$, $x=-\frac{1}{a}$ $y=R$ ($R$ - радиальная координата события на плоскости), то в системе астронавта это будет $t=\infty$, $y=R$, $x=\frac{R}{\tg(\lim_{x\to \infty} \beta)}$:
Я пока не разобрался, как точно вычислить предел $\lim_{x\to \infty} \beta$, но из численного расчета следует, что астронавт увидит плоскость на поверхности параболоида (в указанном выше смысле):

Пусть астронавт пролетает с постоянным ускорением последовательно сквозь множество материальных плоскостей. Т.к. пролетая сквозь любую встреченную на пути плоскость, астронавт в конце концов оставляет ее в бесконечности позади себя, то все эти плоскости стремятся слиться с этим параболоидом, форма которого зависит только от ускорения астронавта. Астронавт будет наблюдать, как плоскости, которые летят ему навстречу, постепенно приобретают выпуклую форму, а затем как бы наталкиваются на поверхность этого параболоида и не могут ее преодолеть. Они накапливаются на ней. Кольцо из предыдущей задачи тоже "наталкивалось" на этот параболоид.
Т.е. параболоид - это так выглядит для ускоренного наблюдателя горизонт событий?

[svv]

Вы очень живо и наглядно описали картину. Местами читать было страшно, как при просмотре фильма ужасов.

sergey zhukov в сообщении #1484234 писал(а):

Я так понял, что предельный угловой размер кольца возникает из-за появления горизонта событий ускоренного наблюдателя.

Я не готов однозначно приписать наблюдаемую картину существованию горизонта событий. Безусловно, описание нужно строить с учётом горизонта, но (на мой взгляд) основную роль тут играет поведение световых лучей в ускоренной системе.

sergey zhukov в сообщении #1484234 писал(а):

Если астронавт в точке $x=0$ начал прямолинейное движение с собственным ускорением $a$, то за его спиной на расстоянии $\frac{1}{a}$ возникает плоскость горизонта событий (которая впоследствии движется за ним со скоростью света $c=1$ и настигает его в бесконечности).

В несколько условном смысле. Поверхность, которую астронавт считает горизонтом событий, двигалась бы так в системе неподвижного наблюдателя, но для неподвижного наблюдателя нет горизонта. В системе же астронавта горизонт событий есть, но всё время находится на расстоянии $\frac 1 a$ за спиной астронавта.

sergey zhukov в сообщении #1484234 писал(а):

Если мы вычислили $\lim_{x\to \infty} \beta$ и считаем, что поперечные размеры для астронавта остаются теми же, что и для неподвижного наблюдателя, то можно в каком-то смысле говорить о том, где астронавт увидит эти события.

Итак, мы отображаем любое событие в трёхмерное пространство «зрительного восприятия» астронавта, руководствуясь двумя требованиями:
1) угол между видимым направлением на объект и осью $x$ равен $\beta$;
2) поперечные координаты в этом пространстве совпадают с координатами $y,z$ в системе астронавта (и неподвижного наблюдателя).
Я думаю, что 1) не нуждается в обосновании, но 2) — лишь удобное соглашение: видимые поперечные координаты могут быть иными. К сожалению, полученная форма «предельной поверхности», т.е. параболоид, а также видимая форма плоскостей, мимо которых пролетает астронавт, опираются на это соглашение. Но в любом случае картина получилась красивая и осмысленная.

[sergey zhukov]

svv в сообщении #1484278 писал(а):

но 2) — лишь удобное соглашение: видимые поперечные координаты могут быть иными.

Да, этот параболоид построен только для простоты понимания все тех же угловых размеров и их соотношений. Не знаю, имеет ли он еще какой-то смысл.

По моему, эта картина качественно похожа на то, что увидел бы астронавт, висящий неподвижно над горизонтом событий черной дыры. Для него так же почти по всем направлениям взгляд упирается в горизонт событий, кроме небольшого углового размера прямо по курсу. Если на черную дыру падает ряд сферических оболочек, то их приближение будет выглядеть для астронавта над ЧД примерно так же, как и для ускоренного наблюдателя. Эти сферические оболочки тоже "осядут на горизонт".

[sergey zhukov]

Хорошая анимация на тему, что где и когда видит релятивистский наблюдатель, движущийся с постоянной скоростью (не ускоренный). Для определения того, где для движущегося наблюдателя происходит событие, использовано соглашение выше.

Интересно, что такой наблюдатель видит, как предметы приближаются к нему (судя по скорости роста углового размера) очень быстро, а удаляются от него за его спиной очень медленно. Если приближаться к скорости света, скорость роста угловых размеров приближающихся тел стремится к бесконечности, а удаляющихся позади наблюдателя - к нулю. Странная, должно быть, картина.

[VictorNovak]

sergey zhukov в сообщении #1485339 писал(а):

Хорошая анимация
на

Я открыл вашу ссылку с телефона и из вслывающего окна с меня безакцептно списали 150 рублей за вступление в какой-то клуб.

СМС к сожалению в ярости удалил.

-- 01.10.2020, 14:24 --

https://ru.imgbb.com/

[sergey zhukov]

VictorNovak
Хм... Хорошо, вот то же самое на предложенном вами сайте.

[svv]

VictorNovak
Очень Вам сочувствую. Бандитизм какой-то. Может быть, стоит в другой теме обсудить, как такие вещи возможны и как от них защититься.

[VictorNovak]

(svv)

Обсудите, если хотите: я просто других предупредил, ибо сам первый раз попал.
Понятно, что с телефона лишний раз наверное лучше ничего не открывать.

[kotenok gav]

Ну так это ж Радикал. В нем если кликнуть не туда - еще и не то может быть.