Задача на диполь.

[inevitablee]

Здравствуйте. Условие задачи из Иродова:
Какую работу против сил электрического поля надо совершить, чтобы перенести диполь с электрическим моментом $p$ из положения 1, где напряженность поля равна $E_1$, в положение 2 с напряженностью $E_2$?
http://joxi.ru/eAOML3MfpMOp7m.
Рассуждение: рассчитать, какую работу нужно совершить, чтобы повернуть диполь на 90 градусов против часовой стрелки из положения 1, не представляет трудности. Проблема в другом: про само поле ничего не сказано. Из рисунка можно предположить, что поле является потенциальным, ибо не имеет завихрений(визуально) и использовать рассуждения из topic88509.html. Тогда понятно.
Однако возникает вопрос: почему если я сначала передвину диполь(при этом действие сил поля на диполь скомпенсировано, работа не совершается), и потом поверну, то получу один ответ($A=pE_1$), а если наоборот, то другой($A=pE_2$), ведь если диполь ориентирован перпендикулярно линиям или вдоль них, то работа по переносу слева направо тоже не совершается(действие сил поля скомпенсировано). Подозреваю, что последнее рассуждение некорректно, ибо я из условия точно не могу знать, как устроено поле между точками, и не могу сказать, скомпенсировано ли действие сил или нет.

[svv]

inevitablee в сообщении #1482931 писал(а):

почему если я сначала передвину диполь(при этом действие сил поля на диполь скомпенсировано, работа не совершается), и потом поверну, то получу один ответ($A=pE_1$), а если наоборот, то другой($A=pE_2$), ведь если диполь ориентирован перпендикулярно линиям или вдоль них, то работа по переносу слева направо тоже не совершается(действие сил поля скомпенсировано)

Работа равна нулю, когда диполь переносится вдоль силовой линии и направлен перпендикулярно ей. (Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям.)

Если же диполь направлен вдоль линии, работа уже ненулевая. Пусть центр диполя находится в точке $A$, и диполь ориентирован, как на картинке. В «голове» стрелочки расположен положительный заряд, его тянет вправо. В «хвосте» стрелочки расположен отрицательный заряд, его тянет влево. Заряды равны по модулю. Но хвост находится в области более сильного поля, поэтому имеется ненулевая равнодействующая.

Работа по перемещению диполя из $A$ в $B$ в продольном положении в точности равна разности работ по повороту диполя в $A$ и в $B$.

[inevitablee]

svv

Цитата:

Работа по перемещению диполя из $A$ в $B$ в продольном положении в точности равна разности работ по повороту диполя в $A$ и в $B$

А почему это так? Может быть, от обратного: если это не так, то работа поля зависит от способа изменения состояния, что противоречит его потенциальности(если мы его считаем потенциальным исходя из рисунка).

[StaticZero]

inevitablee, чем точечный диполь от точечного заряда отличается в контексте задачи?

[inevitablee]

StaticZero
Тем, что для его поворота в поле нужно совершать работу.

[amon]

inevitablee в сообщении #1482943 писал(а):

А почему это так?

Давайте по-другому. Пусть это не так. Как в этом случае сделать вечный двигатель?

[StaticZero]

(Оффтоп)

inevitablee, так давайте её совершим

svv всё написал, но я сам не сразу въехал. Попробую своими словами. Давайте будем исходить из того, что у нас есть прибитый гвоздями в начале координат положительный заряд, в поле которого мы рассмотрим этот вопрос.

Забудем, что у нас диполь. Мы рассмотрим два точечных пробных заряда порознь друг от друга. Начальные заряды $q_1 = +q > 0$, $q_2 = -q$, координаты

$$ \mathbf r_1 = \begin{pmatrix} x_0 \\ p \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf r_2 = \begin{pmatrix} x_0 \\ -p \\ 0 \end{pmatrix} $$

Конечная конфигурация: диполька с тем же моментом $2p$ вдоль лиловой синии

$$ \mathbf r_1' = \begin{pmatrix} x_1 + p \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf r_2' = \begin{pmatrix} x_1 - p \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Вопросы:
1) Чему равна работа в случае перемешения зарядов по одному?
2) Чему равна работа при повороте в $x_0$, затем продвижении до $x_1$?
3) Чему равна работа при продвижении до $x_1$, затем повороте уже в конечной точке?

ps С точностью до $\mathrm O(p/x_0)$.

[EUgeneUS]

StaticZero
ИМХО, Вы в очередной раз излишне усложняете.

inevitablee
Как Вам уже сказали выше - перенос диполя вдоль силовой линии далеко не всегда требует нулевой работы.
Зная выражение для потенциальной энергии диполя в электрическом поле
1. Нужно просто аккуратно посчитать совершенную работу в обоих случаях: а) сначала перенесли, а потом повернули, б) сначала повернули, а потом перенесли. Это обязательно, чтобы разобраться с задачей.
2. Записать выражение для силы, действующей на диполь в электрическом поле. Это - "опционально", но весьма показательно и полезно.

[StaticZero]

(Оффтоп)

EUgeneUS, ну, я и предлагаю

EUgeneUS в сообщении #1482994 писал(а):

аккуратно посчитать совершенную работу в обоих случаях: а) сначала перенесли, а потом повернули, б) сначала повернули, а потом перенесли

для конкретного поля и конфигурации зарядов. Мне кажется, у inevitablee проблемы именно с "рукомашеством".

[svv]

Кстати, в этом задачнике Иродова, в начале раздела 2.1 «Постоянное электрическое поле в вакууме», к которому относится задача, уже приведены готовые формулы (хотя их и вывести несложно):

Иродов писал(а):

$\bullet$ Энергия $W$ диполя $\mathbf p$ во внешнем электрическом поле и момент сил $\mathbf N$, действующих на диполь:

$$W=-\mathbf p \mathbf E,\quad \mathbf N=[\mathbf p \mathbf E].\eqno{(2.1\text{д})}$$

$\bullet$ Сила $\mathbf F$, действующая на диполь, и её проекция $F_x$:

$$\mathbf F=p\,\partial\mathbf E/\partial\ell,\quad F_x=\mathbf p\cdot\nabla E_x,\eqno{(2.1\text{е})}$$

где $\partial\mathbf E/\partial\ell$ — производная вектора $\mathbf E$ по направлению диполя.

inevitablee в сообщении #1482943 писал(а):

А почему это так? Может быть, от обратного: если это не так, то работа поля зависит от способа изменения состояния, что противоречит его потенциальности(если мы его считаем потенциальным исходя из рисунка).

Нет, конечно, не исходя из рисунка. Исходя из того, что задача по теме «Электростатика». Основные уравнения электростатики (в том числе уравнение, выражающее потенциальность поля) выписаны там же, на первой страничке раздела 2.1.

[inevitablee]

Спасибо всем, я разобрался. Надо просто действительно аккуратно строго выписать работу.

[svv]

StaticZero в сообщении #1482947 писал(а):

inevitablee, чем точечный диполь от точечного заряда отличается в контексте задачи?

Ответ, который хотел увидеть StaticZero (я телепат):
— Тем, что потенциальная энергия точечного диполя зависит не только от местонахождения, но и от ориентации.

[inevitablee]

svv
Выходит, что в этой задаче лучше всего строго выписать один интеграл и другой, и получить ответ, ибо заранее о потенциальности поля ничего не сказано. Ведь если не считать поле потенциальным, то заранее я не могу сказать, что работа и так, и так будет одинакова. Верно?

[svv]

Так потенциальность тут предполагается изначально. Тема — электростатика.
Сказано в начале раздела 2.1, там, где формулы перечисляются.

[inevitablee]

svv
Ой, точно. То есть я заранее могу сказать, что от траектории работа не зависит, а расчет интегралов только для самопроверки.