Асимптотика частичных сумм гармонического ряда

[vicvolf]

VoprosT Рассмотренный Вами метод доказательства не объясняет, откуда в оценке $\ln(n)$. Есть другой метод доказательства, поясняющий это.
Попробуйте дать оценку сверху и снизу интеграла $\int_k^{k+1} {\frac {dx}{x}}$.

[nnosipov]

VoprosT в сообщении #1482901 писал(а):

оставлю это упражнение на потом

Вот еще одна свеженькая задачка-упражнение на тему формулы Эйлера-Маклорена (на тот случай, если будете более плотно знакомиться с данным сюжетом).

Problem 12194 (American Mathematical Monthly, 2020, V. 127, No 6, P. 564). Let

$$ \gamma_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}, $$

and let $\gamma=\lim_{n \to \infty}{\gamma_n}$ be the Euler-Mascheroni constant. Evaluate

$$ \sum_{n=1}^\infty\left(\gamma_n-\gamma-\frac{1}{2n}\right). $$

[VoprosT]

vicvolf в сообщении #1483007 писал(а):

VoprosT Рассмотренный Вами метод доказательства не объясняет, откуда в оценке $\ln(n)$. Есть другой метод доказательства, поясняющий это.
Попробуйте дать оценку сверху и снизу интеграла $\int_k^{k+1} {\frac {dx}{x}}$.

Ну, я кстати ровно вчера из “Concrete Mathematics” узнал, что гармоническое число - дискретный аналог натурального логарифма. В том смысле, что разностный оператор даёт $\frac{1}{x+1}$, и обратно, неопределённая сумма последнего выражения есть гармоническое число. Но изначально это упражнение было просто для тренировки, не для выяснения, почему такой результат. Спасибо!

nnosipov в сообщении #1483016 писал(а):

VoprosT в сообщении #1482901 писал(а):

оставлю это упражнение на потом

Вот еще одна свеженькая задачка-упражнение на тему формулы Эйлера-Маклорена (на тот случай, если будете более плотно знакомиться с данным сюжетом).

Problem 12194 (American Mathematical Monthly, 2020, V. 127, No 6, P. 564). Let

$$ \gamma_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}, $$

and let $\gamma=\lim_{n \to \infty}{\gamma_n}$ be the Euler-Mascheroni constant. Evaluate

$$ \sum_{n=1}^\infty\left(\gamma_n-\gamma-\frac{1}{2n}\right). $$

Спасибо, как дойду до темы, обязательно разберусь

[vicvolf]

VoprosT в сообщении #1483068 писал(а):

vicvolf в сообщении #1483007 писал(а):

VoprosT Рассмотренный Вами метод доказательства не объясняет, откуда в оценке $\ln(n)$. Есть другой метод доказательства, поясняющий это.
Попробуйте дать оценку сверху и снизу интеграла $\int_k^{k+1} {\frac {dx}{x}}$.

Ну, я кстати ровно вчера из “Concrete Mathematics” узнал, что гармоническое число - дискретный аналог натурального логарифма. В том смысле, что разностный оператор даёт $\frac{1}{x+1}$, и обратно, неопределённая сумма последнего выражения есть гармоническое число. Но изначально это упражнение было просто для тренировки, не для выяснения, почему такой результат.

Не так важна связь между гармоническим числом и натуральным логарифмом, как сам метод доказательства, так как он справедлив для любой монотонно убывающей, стремящейся к нулю функции. Если функция $f(n)$ монотонно убывает, то $f(k+1)\leq \int_k^{k+1}{f(x)dx} \leq f(k)$ или $0 \leq f(k)-\int_k^{k+1}{f(x)dx} \leq f(k)-f(k+1)$. Теперь, если просуммировать члены неравенства, то из сходимости ряда справа получим сходимость ряда в среднем члене неравенства. Обозначим сумму среднего ряда $C$ и тогда получим: $C=f(1)-\int_1^2 {f(x)dx}+f(2)-\int_2^3 {f(x)dx}+...+f(n)-\int_n^{n+1} {f(x)dx}+O(f(n))$ или $\sum_1^n {f(k)}=\int_1^n {f(x)dx}+C+O(f(n))$. Некоторые детали опустил, чтобы не усложнять. Последняя формула общая для данного случая. В частном случае для $f(n)=1/n$ из нее получаем: $\sum_1^n {1/k}=\int_1^n {\frac {dx}{x}}+C+O(1/n)=\ln(n)+\gamma+O(1/n)$, где $\gamma$ - постоянная Эйлера.