Ранг матрицы

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1482500 писал(а):

Ну пусть у нас есть вектор $x$ в пространстве $F$, и одномерное пространство $E$. Какие бывают изоморфизмы $E$ и $\langle x\rangle$?

Дак они же не обязаны быть изоморфными.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1482501 писал(а):

Дак они же не обязаны быть изоморфными

Пардон, $x$ ненулевой (ну и постранства понятно над одним и тем же полем).

[oleg.k]

Я короче говоря вообще запутался. Если мы знаем, что эти пространства изоморфны, то зачем строить изоморфизм (не вообще, а в контексте этой темы)? Более того, я же уже писал

oleg.k в сообщении #1482481 писал(а):

Пусть $V_{1}(K)$ и $V_{2}(K)$ - два $n$-мерных ВП над $K$. $V_{1} \overset{f_{1}}{\simeq} K^{n}(K)$ и $V_{2} \overset{f_{2}}{\simeq} K^{n}(K)$. Естественным изоморфизмом между $V_{1}$ и $V_{2}$ можно назвать $f = f_{1} \circ f^{-1}_{2}$.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1482507 писал(а):

то зачем строить изоморфизм (не вообще, а в контексте этой темы)?

Ну потому что вы в первом же сообщении спрашивали про изоморфизм

oleg.k в сообщении #1482385 писал(а):

Но мне интересно, можно ли здесь построить явный изоморфизм?

oleg.k в сообщении #1482507 писал(а):

Более того, я же уже писал

А почему вы называете этот изоморфизм "естественным"? В теоркате вроде бы есть строгое определение "естественного изоморфизма", но обычно от него хотят, чтобы он определялся однозначно.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1482508 писал(а):

Ну потому что вы в первом же сообщении спрашивали про изоморфизм

Да, но там же не известно, изоморфны линейные оболочки или нет. И не известно, равны ли их размерности. Я хочу построить явный изоморфизм, чтобы доказать одинаковую размерность этих линейных оболочек.

mihaild в сообщении #1482508 писал(а):

А почему вы называете этот изоморфизм "естественным"? В теоркате вроде бы есть строгое определение "естественного изоморфизма", но обычно от него хотят, чтобы он определялся однозначно.

Я его явным называл сначала. А естественным я его стал называть после сообщения vpb:

vpb в сообщении #1482406 писал(а):

Явный, для каждой заданной матрицы --- конечно, можно. Естественный (в том смысле, что определяется единообразной формулой) --- нет.

В общем, мне нужен явный изоморфизм, т.е. тот который определяется единообразной формулой (ну точнее наверное единообразным способом). Я же задачу в общем виде решаю. В пример можно привести изоморфность $n$-мерного ВП и $K^{n}$. Там каждому вектору ставится в соответствие набор его координат. В этом и есть "единообразность" способа построения этого изоморфизма.

-- 08.09.2020, 17:25 --

А ну и к теоркату я естественно никакого отношения не имею Кроме названия, я там ничего не знаю.

-- 08.09.2020, 17:39 --

svv в сообщении #1482495 писал(а):

И к oleg.k вопрос — не то ли это, чего Вам хотелось?

Ну я в лучшем случае где то половину понимаю, из Вашего сообщения А так, мне просто нужен способ построить изоморфизм между линейными оболочками.

[svv]

mihaild в сообщении #1482500 писал(а):

svv в сообщении #1482495 писал(а):

В то же время соответствие между ними естественное

Между операторами. Как получить из этого изоморфизм между образами, я пока не понимаю.

Простите, я нечётко объяснил, в чём план. Естественного изоморфизма между образами мы не получим, я и не собирался. Но если доказать (в инвариантной форме и для конечномерного случая), что $\dim\operatorname{im}\mathsf A=\dim\operatorname{im}\mathsf A^*$, получим также, что размерности пространства столбцов и строк совпадают, причём эстетическая проблема «через матрицы — некрасиво» будет решена.

-- Вт сен 08, 2020 20:09:48 --

О том же раньше написал pogulyat_vyshel, я как-то пропустил.

[vpb]

Предлагаемое двумя участниками "инвариантное" доказательство теоремы о ранге --- это в Кострикин-Манине задача 4 в параграфе 7.

-- 08.09.2020, 20:52 --

И еще. Из обсуждения в пар.4 там же можно узнать, примерно, чем канонический изоморфизм отличается от неканонического.

-- 08.09.2020, 20:55 --

(Но, не дай бог, из этих фактов не следует делать вывод, что другие известные учебники по линейной алгебре (Мальцев; Кострикин 2-й том; Александров; Винберг, ...) --- какие-то второсортные.)

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1482550 писал(а):

Предлагаемое двумя участниками "инвариантное" доказательство теоремы о ранге

если это обо мне, то я доказательство не предлагал , я предлагал инвариантную формулировку, и без кавычек ,разумеется

[vpb]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1482551 писал(а):

и без кавычек ,разумеется

Кавычки означают, что слово употреблено не вполне в буквальном значении ... ну не знаю, как это объяснить. Пример употребления слова "инвариантный" в совсем буквальном значении --- это "выражение инвариантно относительно указанной замены переменных". В менее буквальном --- "уравнение записано в инвариантной форме" (в смысле, бескоординатно). Еще менее буквально --- когда "в инвариантных терминах, данное утверждение означает, что ... ". А " "инвариантное" доказательство" --- это значит докзательство в инвариантных терминах, по моим понятиям. И тут кавычки, имхо, в самый раз. А какого-то наезда в виду не имелось, если что.

[svv]

vpb в сообщении #1482550 писал(а):

"инвариантное" доказательство теоремы о ранге --- это в Кострикин-Манине задача 4 в параграфе 7

Решения там нет , но план примерно такой (обозначения как здесь):
1) Из rank—nullity theorem следует $\dim\ker \mathsf A^*+\dim\operatorname{im} \mathsf A^*=m$.
2) Доказывается, что $\ker\mathsf A^*=(\operatorname{im} \mathsf A)^\perp$, откуда $\dim\ker\mathsf A^*+\dim\operatorname{im} \mathsf A=m$.
3) Следовательно, $\dim\operatorname{im} \mathsf A^*=\dim\operatorname{im} \mathsf A$.

(Оффтоп)

Кострикин и Манин тоже грешат бескавычьем! Пишут, например (§7, п.5):

Цитата:

Инвариантную проверку мы оставляем читателю в качестве упражнения.

[artempalkin]

oleg.k в сообщении #1482475 писал(а):

1. Матрица не обязательно квадратная: $m \ne n$ вообще говоря. Вы же вроде под соответствием биекцию понимаете?

Базисных строк и базисных столбцов одинаковое количество, разве нет? При этом базисные строки являются базисом пространства строк, а базисные столбцы базисом пространства столбцов. Мы ставим одни в соответствие другим и получаем изоморфизм. Я не могу понять, что здесь не верно :)

oleg.k в сообщении #1482475 писал(а):

2. Системы строк и системы столбцов порождают соответствующие линейные оболочки, это да. Но они не обязаны являться базисами этих оболочек. Они могут быть линейно зависимыми. (то, что каждая из них содержит подсистему, являющуюся базисом соответствующей линейной оболочки - это да. но подсистема совпадать с системой не обязана)

Я говорю про базисные строки и столбцы.

-- 16.09.2020, 08:49 --

mihaild, можно вас попросить прокомментировать? Если базисные строки поставить в соответствие базисным столбцам, а их линейные комбинации - соответствующим линейным комбинациям базисных столбцов, то получится изоморфизм, нет? Чего больше этого может хотеть ТС?

[mihaild]

(Оффтоп)

artempalkin в сообщении #1483373 писал(а):

mihaild, можно вас попросить прокомментировать

Ну вы нашли конечно великого специалиста по линалу

artempalkin в сообщении #1483373 писал(а):

то получится изоморфизм

Изоморфизм, конечно, получится, но чтобы такое сопоставление сделать - придется предварительно доказать, что соответствующие размерности одинаковые. Кроме того, это определяет изоморфизм неоднозначно. А ТС, насколько я понимаю, хочет какой-то изоморфизм получить сразу из оператора, и уже из существования этого изоморфизма вывести совпадение размерностей.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1483394 писал(а):

А ТС, насколько я понимаю, хочет какой-то изоморфизм получить сразу из оператора, и уже из существования этого изоморфизма вывести совпадение размерностей.

Ага... ну задача понятна и даже, возможно, небезынтересна... но такие доказательства - это как разминирование бомбы. "Докажи то, что прекрасно известно и легко доказывается другими методами, случайно не применив никакие из утверждений этих методов".

-- 16.09.2020, 12:19 --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1483394 писал(а):

Кроме того, это определяет изоморфизм неоднозначно

Кстати, интересный вопрос... "Если два ЛП изоморфны, то изоморфизм определен неоднозначно". Это будет верно для все пространств ненулевой размерности. И только пространство $\{0\}$ однозначно изоморфно с другими, с которыми оно изоморфно. Вообще же количество изоморфизмов будет таким же, каково количество невырожденных автоморфизмов... это так, мысли вслух...

Более интересным, я думаю, является вот такое утверждением: "Среди изоморфизмов все равноправны". Я вполне уверен, что ответ на прямой вопрос ТС в том, что никакого "естественного" изоморфизма не существует.

UPD Еще одна мысль вслух состоит в том, что вырожденных автоморфизмов для ЛП не бывает.

[artempalkin]

svv в сообщении #1482495 писал(а):

В то же время соответствие между ними естественное.

Ну как естественное... оно зависит от способа задания скалярного произведения, которое можно задать как угодно.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1483407 писал(а):

Кстати, интересный вопрос... "Если два ЛП изоморфны, то изоморфизм определен неоднозначно".

Это понятно (как раз потому что группа автоморфизмов нетривиальна). Но, например, между $X$ и $X^{**}$ есть канонический изоморфизм (который, правда, использует знание о структуре элементов).

artempalkin в сообщении #1483407 писал(а):

И только пространство $\{0\}$ однозначно изоморфно с другими, с которыми оно изоморфно.

Еще $\mathbb Z_2^1$ (а без аксиомы выбора - возможно и что-то еще).