Ранг матрицы

[oleg.k]

Пусть есть матрица

$$A_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ...& &... \\ a_{m_{1}}& ... & a_{mn} \end{pmatrix}$$

над некоторым полем $K$. Каждая строка представляет из себя вектор пространства $K^{n}(K)$, а каждый столбец представляет из себя вектор пространства $K^{m}(K)$. Рангом системы строк матрицы $A$ называется размерность линейной оболочки системы векторов, состоящей из строк. Аналогично определяется ранг системы столбцов. Есть теорема, что эти ранги совпадают. Там простое доказательство: ранги обеих систем не меняются при элементарных преобразованиях строк матрицы $A$ и ранг обеих систем равен количеству ненулевых строк матрицы $A$, приведенной к верхнетреугольной форме. Но мне интересно, можно ли здесь построить явный изоморфизм?

[vpb]

Явный, для каждой заданной матрицы --- конечно, можно. Естественный (в том смысле, что определяется единообразной формулой) --- нет.

[oleg.k]

vpb в сообщении #1482406 писал(а):

Естественный (в том смысле, что определяется единообразной формулой) --- нет.

Одинаковая размерность линейных оболочек систем строк и столбцов любой матрицы - это объективно красивый результат. Странно, что естественного изоморфизма нету.

[pogulyat_vyshel]

oleg.k в сообщении #1482442 писал(а):

Одинаковая размерность линейных оболочек систем строк и столбцов любой матрицы - это объективно красивый результат. Странно, что естественного изоморфизма нету.

А почему это обязательно должен быть изоморфизм? Инвариантная формулировка этого результата есть. Просто потому что $\mathrm{rang}\, A:=\dim\mathrm{im}\, A$
соответственно в инвариантной формк $\dim\mathrm{im}\, A=\dim\mathrm{im}\, A'$

[mihaild]

Можно для тех, кто в танке - между какими пространствами хочется иметь изоморфизм?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1482456 писал(а):

Можно для тех, кто в танке - между какими пространствами хочется иметь изоморфизм?

Между линейными оболочками строк и столбцов - размерности же равны :)

-- 08.09.2020, 11:33 --

Поставить в соответствие базисным строкам базисные столбцы, нет? А их линейным комбинациям соответствующие линейные комбинации. Вот тебе и весь изоморфизм.

[oleg.k]

artempalkin в сообщении #1482463 писал(а):

Поставить в соответствие базисным строкам базисные столбцы, нет? А их линейным комбинациям соответствующие линейные комбинации. Вот тебе и весь изоморфизм.

1. Матрица не обязательно квадратная: $m \ne n$ вообще говоря. Вы же вроде под соответствием биекцию понимаете?
2. Системы строк и системы столбцов порождают соответствующие линейные оболочки, это да. Но они не обязаны являться базисами этих оболочек. Они могут быть линейно зависимыми. (то, что каждая из них содержит подсистему, являющуюся базисом соответствующей линейной оболочки - это да. но подсистема совпадать с системой не обязана)

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1482442 писал(а):

Странно, что естественного изоморфизма нету

Ну любые два векторных пространства одной размерности изоморфны, но естественного изоморфизма между ними нет.
Вот даже в простейшем случае: $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}$. Какой вектор из $K^1$ брать?

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1482479 писал(а):

Ну любые два векторных пространства одной размерности изоморфны, но естественного изоморфизма между ними нет.

Пусть $V_{1}(K)$ и $V_{2}(K)$ - два $n$-мерных ВП над $K$. $V_{1} \overset{f_{1}}{\simeq} K^{n}(K)$ и $V_{2} \overset{f_{2}}{\simeq} K^{n}(K)$. Естественным изоморфизмом между $V_{1}$ и $V_{2}$ можно назвать $f = f_{1} \circ f^{-1}_{2}$.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1482481 писал(а):

$K$. $V_{1} \overset{f_{1}}{\simeq} K^{n}(K)$

А $f_1$ как выбирать? Их много разных может быть.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1482479 писал(а):

Вот даже в простейшем случае: $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}$. Какой вектор из $K^1$ брать?

Тут я как то не очень понял, о чем речь. Столбцы образуют систему, состоящую из двух векторов пространства $\mathbb{R}^1(\mathbb{R})$. Линейная оболочка этой системы есть подпространство $\mathbb{R}^1(\mathbb{R})$. Система строк этой матрицы состоит из одного вектора пространства $\mathbb{R}^2(\mathbb{R})$. Линейная оболочка этой системы суть подпространство $\mathbb{R}^2(\mathbb{R})$. Надо построить какой то естественный изоморфизм этих линейных оболочек. Я не очень понял, зачем брать вектор из $K^1$.

mihaild в сообщении #1482482 писал(а):

А $f_1$ как выбирать? Их много разных может быть.

Отображение, ставящее вектору набор его координат в некотором базисе. Да, таких отображений может быть больше одного и ничего - можно брать любое из них. Естественных изоморфизмов между $V_{1}$ и $V_{2}$ может быть несколько.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1482483 писал(а):

Я не очень понял, зачем брать вектор из $K^1$

Возьмем какой-нибудь вектор из линейной оболочки системы строк (например сам вектор $(2, 3)$). Тогда изоморфизм между $\mathbb R^1$ и этой линейной оболочкой однозначно задается (ненулевым) вектором из $\mathbb R$. Но совершенно непонятно, какой выбирать.

oleg.k в сообщении #1482483 писал(а):

Естественных изоморфизмов между $V_{1}$ и $V_{2}$ может быть несколько

У вас странное определение естественного изоморфизма.
В любом случае, описанным способом можно получить вообще любой изоморфизм $V_1$ и $V_2$. Тогда почему бы и со строками/столбцами можно не взять все возможные?

[svv]

mihaild
Нельзя ли как-то так на это дело взглянуть?
Есть два конечномерных векторных пространства, $E$ и $F$, и линейный оператор $\mathsf A: E\to F$. Сопряжённый ему оператор $\mathsf A^*: F^*\to E^*$ определяем соотношением
$p\cdot \mathsf Au = \mathsf A^*p\cdot u\,,\quad\quad p\in F^*, \; u\in E\,,$
где точка означает значение ковектора на векторе. Никаких скалярных произведений.

Пусть $\dim F=m, \dim E=n$. В конкретных базисах матрица $A$ размера $m\times n$ будет одновременно
$\bullet$ матрицей оператора $\mathsf A$ из $n$-мерного в $m$-мерное пространство, и
$\bullet$ матрицей оператора $\mathsf A^*$ из $m$-мерного в $n$-мерное пространство.
Размерность образа $\mathsf A$ равна размерности пространства столбцов матрицы $A$, а размерность образа $\mathsf A^*$ равна размерности пространства строк матрицы $A$. И то, что оба числа равны, как бы, не совсем тривиально. Операторы-то разные. В то же время соответствие между ними естественное.

-- Вт сен 08, 2020 16:12:06 --

И к oleg.k вопрос — не то ли это, чего Вам хотелось?

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1482490 писал(а):

Тогда изоморфизм между $\mathbb R^1$ и этой линейной оболочкой однозначно задается (ненулевым) вектором из $\mathbb R$.

Как его задать?

[mihaild]

svv в сообщении #1482495 писал(а):

В то же время соответствие между ними естественное

Между операторами. Как получить из этого изоморфизм между образами, я пока не понимаю.

oleg.k в сообщении #1482497 писал(а):

Как его задать?

Ну пусть у нас есть вектор $x$ в пространстве $F$, и одномерное пространство $E$. Какие бывают изоморфизмы $E$ и $\langle x\rangle$?