Задача на СТО

[Dedekind]

Добрый день!
Прошу уважаемых форумчан проверить, правильно ли я решил такую задачу.

Условие. Два идентичных близнеца находятся в двух ИСО. Первый (назовем его "домосед") в ИСО Земли, а второй ("путешественник") в ИСО ракеты, которая пролетает мимо Земли с такой скоростью, что Лоренц-фактор $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1000 $. Пусть в момент $t = t' = 0, х = x' = 0$ каждому из них 20 лет и их часы синхронизированы в этой точке. Затем каждый из близнецов с периодичностью 1 год по собственным часам отправляет другому информацию о своем возрасте.
Вопрос. Сможет кто-то из них действительно получить следующее сообщение брата?

Мое решение
Я рассуждал следующим образом.
Также предположим, что близнецы узнают об отправке сообщений друг друга без задержки, в тот самый момент как сообщение было отправлено (мне кажется, это должно упростить расчет, не учитывать время на прохождение сигнала, если ракета находится далеко от Земли. Но справедливо ли такое допущение, или так делать нельзя?).
Формула замедления времени Лоренца гласит:

$$ t =\gamma t'$$

где $t$ это момент времени в ИСО домоседа, в который было отправлено второе сообщение от путешественника, $ t' = 1 год $ (по условию) это время отправки сообщения по собственному времени в ИСО путешественника. Тогда получаем

$$ t =\gamma t' = 1000\cdot 1\, \mathtext{year} = 1000 \, \mathtext{year} $$

Тут момент, в котором я не уверен. Следует ли понимать этот результат так, что к моменту отправки второго сообщения в ИСО домоседа пройдет 1000 лет и это сообщение смогут принять только его далекие потомки? Притом содержание сообщения будет составлять: "Мне (путешественнику то есть) 21 год?"
Решая зеркально по отношению к ИСО путешественника получим аналогичный результат. Через 1000 лет на пустой корабль придет сообщение с Земли:"Мне (домоседу) 21 год"?

Заранее спасибо за помощь!

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1481492 писал(а):

Также предположим, что близнецы узнают об отправке сообщений друг друга без задержки, в тот самый момент как сообщение было отправлено (мне кажется, это должно упростить расчет, не учитывать время на прохождение сигнала, если ракета находится далеко от Земли. Но справедливо ли такое допущение, или так делать нельзя?).

А что такое "тот самый момент"?

Dedekind в сообщении #1481492 писал(а):

Формула замедления времени Лоренца гласит:

$$ t =\gamma t'$$

где $t$ это момент времени в ИСО домоседа, в который было отправлено второе сообщение от путешественника, $ t' = 1 год $ (по условию) это время отправки сообщения по собственному времени в ИСО путешественника.

Ничего подобного эта формула не гласит. Собственно, и проблема в том, что вы используете ее, не понимая, что именно она описывает.

[Dedekind]

Pphantom в сообщении #1481496 писал(а):

А что такое "тот самый момент"?

Момент отправки сообщения путешественником. По его собственным часам это время равно 1 году, по часам домоседа - 1000 лет (ну, по моим расчетам).

Pphantom в сообщении #1481496 писал(а):

Ничего подобного эта формула не гласит.

Опирался на это (первая формула в статье) https://ru.wikipedia.org/wiki/Замедление_времени#Движение_с_постоянной_скоростью
Как же будет на самом деле?

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1481498 писал(а):

Момент отправки сообщения путешественником.

А в чем смысл при решении задачи на СТО предполагать мгновенную передачу сигналов?

Dedekind в сообщении #1481498 писал(а):

Опирался на это (первая формула в статье)

Ну да, там в первом же абзаце сказано, о чем идет речь. Это, конечно, имеет некоторое отношение к решаемой задаче, но не более того.

В общем, найдите где-нибудь вывод формулы для продольного релятивистского эффекта Допплера.

[Dedekind]

Pphantom в сообщении #1481499 писал(а):

А в чем смысл при решении задачи на СТО предполагать мгновенную передачу сигналов?

Для упрощения расчетов. Посмотрите, пожалуйста, правильно ли я нарисовал ПВД ситуации в ИСО домоседа? Штрихованной линией отмечен путь света, жирной - мировая линия путешественника. Крестики обозначают событие отправки сигнала. $t_{sig}$ это как раз время задержки, но если я хочу найти только $t$, то правильны ли мои рассуждения?

[Pphantom]

Да я в общем-то уже готовый ответ написал, в него разве что числа осталось подставить...

[Dedekind]

Pphantom в сообщении #1481504 писал(а):

Да я в общем-то уже готовый ответ написал, в него разве что числа осталось подставить...

И все-таки, если обойтись без эффекта Доплера и считать только $t$, то мои выкладки правильны? И правильно ли я расставил обозначения на диаграмме?

[svv]

Вы можете проверить выкладки с помощью преобразований Лоренца. Для события «путешественник отправляет сигнал» Вам известны координаты в системе путешественника $(t', x')$, а найти надо координаты в системе домоседа $(t,x)$.

Кстати, вопрос на засыпку: Вы можете объяснить, почему формулы дают $t>t'$, хотя на Вашей картинке $t$ — это катет прямоугольного треугольника, а $t'$ — гипотенуза?

[Dedekind]

svv в сообщении #1481507 писал(а):

Вы можете проверить выкладки с помощью преобразований Лоренца. Для события «путешественник отправляет сигнал» Вам известны координаты в системе путешественника $(t', x')$, а найти надо координаты в системе домоседа $(t,x)$.

Да, точно, давайте проверим. Обратные преобразования Лоренца имеют вид

$$x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$t=\frac{t'+(v/c^2)x'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

В нашем случае: $x' = 0, t' = 1\, \mathtext{year}$. Тогда

$$x=\frac{0+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = 1000v$$

$$t=\frac{t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma t' = 1000 \, \mathtext{years}$$

То есть, для домоседа между сигналами пройдет 1000 лет. Для времени получается такая же формула, как и в моем исходном решении. Однако, Pphantom утверждает, что я неправильно употребляю переменные $x'$ и $t'$. Поэтому, можете подсказать, где я ошибаюсь?

svv в сообщении #1481507 писал(а):

Кстати, вопрос на засыпку: Вы можете объяснить, почему формулы дают $t>t'$, хотя на Вашей картинке $t$ — это катет прямоугольного треугольника, а $t'$ — гипотенуза?

Полагаю, это потому, что в псевдоевклидовом пространстве расстояние задается не как

$$(ct')^2 = (ct)^2 + (vt)^2$$

а

$$(ct')^2 = (ct)^2 - (vt)^2$$

Таким образом, $t'<t$.

[amon]

Dedekind в сообщении #1481527 писал(а):

Поэтому, можете подсказать, где я ошибаюсь?

IMHO, здесь:

Dedekind в сообщении #1481492 писал(а):

близнецы узнают об отправке сообщений друг друга без задержки

Если это условие убрать, и, заодно, не прыгать из одной СО (системы отсчета) в другую, то получится следующее. С точки зрения Земли прошла одна единица времени. Мы посылаем сигнал на тело, летящее черт знает с какой скоростью. Пока этот сигнал догонит летящее тело пройдет хренова туча времени. Теперь посмотрим на летящее тело из СО Земли. Там часы отщелкают $0.001$ единицу времени. Что бы эти часы отщелкали единицу времени тело должно улететь хрен знает куда, и сигнал доложен пройти это расстояние. Проверьте, что сигналы в СО Земли придут одновременно, и проверить кто летит, а кто стоит как вкопанный таким способом невозможно.

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1481527 писал(а):

Поэтому, можете подсказать, где я ошибаюсь?

Давайте решим более простую задачу. На неподвижном относительно Солнечной системы объекте, находящемся на расстоянии от нее 10 световых лет, произошла вспышка. Через какое время после вспышки ее будут наблюдать на Земле?

[Dedekind]

amon в сообщении #1481536 писал(а):

IMHO, здесь:

Dedekind в сообщении #1481492 писал(а):

близнецы узнают об отправке сообщений друг друга без задержки

Опять же, если рассматривать только время $t$ испускания сигнала путешественником в ИСО домоседа (не предполагая, что домосед и вправду мгновенно его получил), то правильно ли я применил преобразования Лоренца в предыдущем посте? Мне кажется, это простейшая подзадача, поэтому если я ее неправильно понимаю, то хотелось бы разобраться сначала с этим.

-- 01.09.2020, 14:24 --

Pphantom в сообщении #1481546 писал(а):

Давайте решим более простую задачу. На неподвижном относительно Солнечной системы объекте, находящемся на расстоянии от нее 10 световых лет, произошла вспышка. Через какое время после вспышки ее будут наблюдать на Земле?

Через 10 лет.

[svv]

Dedekind в сообщении #1481527 писал(а):

Полагаю, это потому, что в псевдоевклидовом пространстве расстояние задается не как

$$(ct')^2 = (ct)^2 + (vt)^2$$

а

$$(ct')^2 = (ct)^2 - (vt)^2$$

Таким образом, $t'<t$.

Точно.

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1481554 писал(а):

Через 10 лет.

Нет, так нечестно. Примените к этому случаю свое рассуждение с преобразованием Лоренца.

[amon]

Dedekind в сообщении #1481527 писал(а):

Pphantom утверждает, что я неправильно употребляю переменные $x'$ и $t'$. Поэтому, можете подсказать, где я ошибаюсь?

IMHO, Вы не очень понимаете, кто такие $t$ и $t'$. Это показания часов в одной и той же СО. Только одни часы лежат на Земле, а другие летят с большой скоростью. Если синхронизовать часы в момент пролета ракеты мимо Земли, а потом, через некоторое время, сравнить показания часов в ракете с показаниями неподвижных, синхронизованных с Землей часов, мимо которых ракета пролетает, то выяснится, что часы в ракете действительно отстают. Все это безобразие происходит в одной и той же СО Земли.