Бывают случаи, когда данным методом понизить порядок «не совсем получается». Возьмём соотношение

. В операторной форме

, причём разложить оператор на множители можно лишь с использованием комплексных чисел:

Общее решение

При вычёркивании операторного множителя

наш метод даёт

Пусть коэффициент

известен. Подставляя его, формально получаем соотношение первого порядка. И если последовательность

может быть комплексной (почему нет?), тогда нет проблем.
Если же

обязана быть вещественной, то, разделяя вещественную и мнимую часть, найдём

Вещественная часть и мнимая часть равны нулю по отдельности, и наше рекуррентное соотношение распадается на два эквивалентных выражения для общего члена:

т.е. вместо понижения порядка нечаянно получили решение.
Дело в том, что при требовании вещественности

произвольные коэффициенты

и

в общем решении
не совсем произвольны связаны:

, поэтому, зная один, знаем и другой, что определяет последовательность однозначно.