2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
kotenok gav в сообщении #1481126 писал(а):
Так maximkarimov хочет глубину не увеличить, а уменьшить до конкретного числа.
Для этого можно её сначала уменьшить до нуля, а потом до конкретного числа увеличить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 14:46 


26/09/17
322
mihaild в сообщении #1481124 писал(а):
Ограничение на глубину снизу смысла не имеет.

Два рекуррентных соотношения разной глубины дают одну и ту же явную формулу, но ни одно из таких соотношений не является "переписанной" явной формулой, не является квази-рекуррентным соотношением. В некоторых случаях это имеет значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1481132 писал(а):
но ни одно из соотношений не является "переписанной" явной формулой
Я не думаю, что вы это сможете формализовать.
maximkarimov в сообщении #1481132 писал(а):
не является квази-рекуррентным соотношением
А это что такое?

Рассмотрим три семейства рекуррентных соотношения ($c$ и $d$ - константы):
1) $a_n = 3 a_{n - 1} - 2 a_{n - 2}$, глубина $2$
2) $a_n = c + d \cdot 2^n$, глубина $0$
3) $a_n = a_{n - 1} + d \cdot 2^{n - 1}$, глубина $1$
Им удовлетворяют одни и те же последовательности. Третье является "переписанной явной формулой", или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 15:03 


26/09/17
322
Позволю себе ответить вопросом на вопрос - как по Вашему выглядит рекуррентное соотношение B глубиной 2 в приведенном мною примере?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1481139 писал(а):
как по Вашему выглядит рекуррентное соотношение B глубиной 2 в приведенном мною примере?
В угадайку играть не буду принципиально.
Вы задали вопрос, вам и отвечать на уточняющие вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 15:29 


26/09/17
322
"Легким движением руки" явную формулу превращаем в рекуррентное соотношение любой глубины!
Я Вас правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1481148 писал(а):
"Легким движением руки" явную формулу превращаем в рекуррентное соотношение любой глубины!
Да, именно так. Поэтому искать формулу какой-то конкретной глубины без ограничения на вид формулы - бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 15:52 


26/09/17
322
Ммм... Ограничения какого вида Вы имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1481154 писал(а):
Ограничения какого вида Вы имеете ввиду?
Да какие угодно. Например можно потребовать, чтобы рекуррентное выражение было линейным / однородным / с постоянными коэффициентами / еще каким-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 22:06 


26/09/17
322
Вы правы. Уточняю ограничения на B - линейное, с постоянными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Т.е. вида $a_n = x_1 a^{n - 1} + \ldots + x_k a^{n - k}$? Для формулы из первого поста и большинства начальных членов (например для $3, 8, 23, 277$ - общая формула получится $a_n = 1 + n + 2^n + 4^n$) получающаяся последовательность такой формулой глубины меньше $4$ не задается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 22:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
maximkarimov в сообщении #1481202 писал(а):
Уточняю ограничения на B - линейное, с постоянными коэффициентами.
... но, возможно, неоднородное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 22:26 


26/09/17
322
svv - верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение28.08.2020, 23:24 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Пусть $S$ — оператор сдвига последовательности $(a_n)$ на один элемент влево, т.е. $(b_n)=S(a_n)$ означает $\forall n, b_n=a_{n+1}$.
Тогда исходное рекуррентное соотношение можно записать в операторной форме так:
$(S-4)(S-2)(S-1)(S-1)(a_n)=(0)$
Общее решение $a_n=A\cdot 4^n+B\cdot 2^n+C\cdot 1^n+D\cdot 1^n n$, где $A,B,C,D$ — произвольные константы.

Вычеркнем из оператора один множитель, например, $S-2$, и подействуем полученным оператором на общее решение. Ясно, что выживет (и преобразуется) только второе слагаемое:
$(S-4)(S-1)^2\;(a_n)=(S-4)(S-1)^2\;(B\cdot 2^n)=(-B\cdot 2^{n+1})$
Если $B$ известно, подставим его сюда и получим неоднородное рекуррентное соотношение 3 порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понизить ранг (глубину) рекуррентного соотношения?
Сообщение30.08.2020, 19:36 


26/09/17
322
То есть B существует всегда, причем для всех $0<k<n$ и Вы обозначили, вообще говоря, путь для получения конкретного B?
P.S. Под B я подразумеваю искомое рекуррентное соотношение, а не коэффициент, для обозначения которого Вы использовали тот же символ (B).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group