2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение21.08.2020, 19:00 


20/08/20
8
Здравствуйте, господа!
Я на днях накатал статью, в которой изложены две идеи:
1. Представить три угловые координаты сферической системы координат в четырёхмерном пространстве линейными друг другу, и через это перейти к псевдо евклидовой метрике трёхмерного пространства внутри четырёхмерного для 3-сферы постоянного радиуса (как в метрике FLRW).
2. Полагая радиус аналогом энергии, уравновесить интервал, вычитая из него $dr^2$, предполагая, что это условие энергетически замкнутой системы. Ниже расписано немного подробнее. И решить для такого интервала уравнения ОТО через подобие решению Шварцшильда.

Так как я только учусь, я бы хотел обсудить правомерность некоторых действий из приведённых ниже.
Сомнения вызывают:
1. Правомерность "переворота" второй и третьей угловых координат - $\phi, \eta$ - линейно первой $\theta$. Остаётся ли при этом система ортонормированной?
этой статье описано получение метрики общего вида, включающей метрики Фридмана и Шварцшильда как частные случаи.
2. Нет ли ещё каких-то ошибок, которые я не вижу?
Заранее очень благодарен.

Представим, что у пространства есть четвёртое измерение. Как если бы движение в нём забирало у объекта некоторое количество движения или наоборот. Словно гравитация это чисто геометрический эффект создания субпространственной воронки вокруг любого объекта, обладающего энергией.
Вы наверняка натыкались на подобную визуализацию гравитации, если интересуетесь вопросом. Мы воспримем её буквально и для того, чтобы оценить глубину такой воронки и механизм взаимодействия объектов, сформулируем выражение интервала сигнатуры (1-4).

3-сферические координаты
Представим 4-ёх мерное пространство $\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$, и зададим в нём сферические координаты $(r, \theta, \phi, \eta)$:
$w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta;
x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta;
y = r\sin\theta\cos\phi;
z = r\cos\theta } $
Для этого запишем переходную матрицу:
$\vec{r} = \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \\  \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\
r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\
r\sin\theta\cos\phi \\
r\cos\theta
\end{pmatrix} $
Посчитаем переходные коэффициенты:
$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = 1$
$g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| =  r$
$g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = r\sin\theta$
$g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = r\sin\theta\sin\phi$
И представим соответствующий $\psi$ интервал:
$ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)$
$ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) $
$ds^2 = (-1)\cdot dt^2 +  1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2$
$ds^2 =  \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} \color{blue}{ + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$
Красным - темпоральная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW.
Синим - пространственная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW, и представляющая собой поверхность 3-сферы.

Маджента получилась подвисшим между временем и пространством звеном - дифференциалом изменения мультипликатора пространственной части.

Общий вид интервала
Продолжая развитие идей, изложенных в предыдущей статье, положим изменение четвёртого измерения мерой связанной с относительным количеством энергии объектов, следовательно, дополним метрику составляющей $\color{orange}{-dr^2}$ в силу рассмотрения энергетически замкнутой системы, что будет предполагаться истинным и для Вселенной в целом (решение Фридмана), и для сферически симметричного массивного тела (решение Шварцшильда). Читатель не согласный с такой трактовкой, может просто считать это математическим трюком:
$ds^2 =  \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 -} \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \color{red}{\right)} + \color{blue}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - } \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \color{blue}{\right)}$
Маджента в темпоральной части понятна:
$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$
Синюю переформируем, чтобы показать, что пространство $\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ является псевдоевклидовым:
$\color{blue}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - }\color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \color{blue}{ \right) =} $
$\color{blue}{r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dr^2 -} \color{orange}{dr^2} \color{black}{=} \quad \rightarrow (1)$
Производные углов $\phi, \eta$ по углу $\theta $равны:
$\frac{d\phi^2}{d\theta^2} = \left( \frac{d\theta}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\phi} \right)^2 = \left( \frac{g_\phi}{g_\theta} \right)^2 = \frac{1}{\sin^2\theta};$
$\frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\phi^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$
Поэтому с учётом базисных векторов:
$(1) \rightarrow  \quad \color{blue}{= r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 1}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2  \cdot \vec{e_{\theta 2}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2  \cdot \vec{e_{\theta 3}}^2 - }\color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2}\color{black}{  = } \quad \rightarrow \ (2)$
что представляет локальное псевдоевклидово 3-пространство $\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ с линейными по $d\theta$ базисными векторами:
$d\theta \cdot \vec{e_{\theta 1}}  = dx_1 \cdot \vec{e_x}; $
$d\theta \cdot \vec{e_{\theta 2}} = dy_1 \cdot \vec{e_y}; $
$d\theta \cdot \vec{e_{\theta 3}} = dz_1 \cdot \vec{e_z}; $
с масштабным фактором $r$, и с мгновенной длиной $dl^2 = dx_1^2 + dy_1^2 + dz_1^2$, в нашем случае совокупно редуцированной на величину $dr^2/r^2$:
$(2) \rightarrow  \quad \color{blue}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - } \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \color{black}{ \right) =  \quad \rightarrow \ (3)}$
Без оранжевой составляющей получилась пространственная часть интервала стандартной космологической модели для "плоского" пространства с возможной деградацией пространственного масштабного фактора $r$ по времени, как в FLRW.

Гиперповерхность 3-сферы является внутри себя линейной по угловым координатам, или, иначе говоря, пространственная часть интервала получилась "плоской" для неизменного $r \ (dr = 0)$. "Упаковать" лишний $dr^2$ будет практичнее снова в сферических, только уже обычных для трёхмерной сферы $(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$. Чтобы различать координаты для 3-сферической и 2-сферической систем, последние обозначим $(\rho, \varphi, \zeta)$:
$(3) \rightarrow \quad r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \frac{dr^2}{r^2} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \frac{dr^2}{r^2} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = $
$= r^2 \cdot \left( \left(1 - \frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)$
где порядок отношения величин $dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^{\rho + C}$ , а $\varphi, \zeta$ по теореме тангенсов:
${
d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\
d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta.
}$
Тогда полный интервал будет:
$ds^2 =  (-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) + r^2 \cdot \left( \left(1 - \frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) \qquad (A)$
Получился комбинированный интервал словно "слепленный" из вида интервала метрики FLRW и метрики Шварцшильда, каждый из которых представляет частный случай физических взаимодействий. Теперь посмотрим как из $(A)$ получаются соответствующие решения.

Вид интервала для метрики Фридмана
Чисто математически интервал вида $(A)$ превращается в метрику FLRW стандартной космологической модели простым исключением энергетической составляющей $dr = 0$:
$ds^2 =  (-1)\cdot dt^2 + r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)$
Что, как показано выше, можно также переписать так:
$ds^2 =  (-1)\cdot dt^2 + r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)$
Решение уравнений ОТО для такого интервала даёт зависимость $r \propto t^{2/3}$.

Однако, эмпирические данные ККС для объектов $z>0.3$ показывают консолидированное отклонение от этой зависимости.

Возможно, решение для интервала вида $(A)$ даст более точную зависимость, но я пока его не нашёл.

Решение ОТО через метрику Шварцшильда
Сравним полученный интервал с метрикой Шварцшильда:
$ds^2 = -(1-\frac{\rho_s}{\rho}) \cdot dt^2 + \frac{1}{1 -  \frac{\rho_s}{\rho}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$
Если представить систему взаимодействующих объектов в низкоэнергетическом масштабе $(dr/r \rightarrow \infty)$, то $r$ можно принять равным единице без потери математической связности, пространство при этом станет псевдоевклидовым, а интервал $(A)$ можно переписать следующим образом:
$ds^2 =  (-1)\cdot \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) \cdot dt^2 + \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$
Математически это ровно то же самое, как если бы мы выполнили фокус $\pm dr^2$ для пустого 3-пространства в сферических координатах $(\rho, \varphi, \zeta)$.

То есть для плоского вакуумного случая интервал $(A)$ будет иметь решение аналогичное решению метрики Шварцшильда, при условии эквивалентности множителей при $dt$ и $d\rho$. Получим систему:
$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; $
$\frac{1}{1 -  \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$
где $t, r, \rho $ - по порядку: время, кривизна (энергия), радиус (расстояние) в сферически симметричном гравитационном поле по нулевой общей кривизне пространства.
Путём нехитрых математических преобразований получим весьма лаконичное решение:
$- dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$
которое утверждает, что:
    1. Четвёртая координата линейна радиальной координате.
    2. Четвёртая координата является координатой по мнимой оси.
Первое, на мой взгляд, очень важно, потому что показывает, что энергия, представленная как дополнительная ось, почти изотропна наблюдаемым. Второе - позволяет понять, почему она проявляет себя иначе. И "ненаблюдаема".

Кроме того, хочется отметить, что сама постановка в интервале энергии с отрицательным знаком относительно пространства и положительным относительно времени позволяет сформулировать их взаимоотношения следующим образом: пространство - это энергия-время, оно преодолевается за энергию-время.

Резюме
Мне кажется, продолжение курса на геометризацию физики показывает себя весьма перспективным направлением. Мнимость энергетической оси в космологии могла бы послужить перекидным мостиком к уравнениям Максвелла.
<b>Заметки на полях.</b> Забегая вперёд, позволю себе предположить, что одного мнимого измерения для организации механизмов заряда и массы будет мало. Плюс электро-магнитный дуализм как аргумент в пользу не менее двух измерений. И некоторая симметрия в форме: временное измерение + два энергетических = три пространственных.
При переходе к микро масштабам я попробую двигаться в направлении "расщепления" $r$:
$ds^2 = - dt^2 - dv^2 - dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Буду признателен любым обоснованным мнениям.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.08.2020, 21:15 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23721
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствует формулировка предмета обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.08.2020, 16:11 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23721
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение22.08.2020, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Buddha.Sugata в сообщении #1480197 писал(а):
я бы хотел обсудить правомерность некоторых действий из приведённых ниже
Вообще говоря, добавлять по ходу вычислений какие-то произвольные слагаемые, потом убирать, после чего снова добавлять, но уже другие и к чему-то прийти - это на самом деле называется ни к чему не прийти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение22.08.2020, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
Buddha.Sugata в сообщении #1480197 писал(а):
исключением энергетической составляющей $dr = 0$:

Buddha.Sugata в сообщении #1480197 писал(а):
даёт зависимость $r \propto t^{2/3}$

противоречие....

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение23.08.2020, 12:13 


20/08/20
8
Цитата:
противоречие....

Я, наверное, не совсем ясно выразился.
Исключение энергетической составляющей $dr^2 = 0$ из интервала вида:
$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 ( dl^2 )$
означает отсутствие какого-либо стороннего воздействия на систему объектов в целом, в которой какое-то количество движения по этой оси уже присутствует $\Rightarrow$, подразумевая этим, что энергия внутри замкнутого контура ненулевая и постоянная. Поэтому использование интервала вида:
$ds^2 = -dt^2 + r^2 ( dl^2 )$
для системы в целом - показательно, что не означает отсутствия $\pm dr^2$ протекающих внутри процессов, следовательно, $r \ne 0$ и $r = r (t)$.
Итого:
Составляющая интервала $ dr^2 = 0 $ не означает $r = 0$.

-- 23.08.2020, 14:15 --

Утундрий в сообщении #1480299 писал(а):
Buddha.Sugata в сообщении #1480197 писал(а):
я бы хотел обсудить правомерность некоторых действий из приведённых ниже
Вообще говоря, добавлять по ходу вычислений какие-то произвольные слагаемые, потом убирать, после чего снова добавлять, но уже другие и к чему-то прийти - это на самом деле называется ни к чему не прийти.

Вы не могли бы объяснить какие произвольные слагаемые добавляются и убираются, и где.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение23.08.2020, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Buddha.Sugata
Я подозреваю, что человеческий Вам не родной, поэтому нам трудно будет найти точки соприкосновения. Вы, небось, считаете всё это разноцветное барахло чем-то сложным и важным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение23.08.2020, 16:55 


20/08/20
8
Утундрий в сообщении #1480381 писал(а):
Buddha.Sugata
Я подозреваю, что человеческий Вам не родной, поэтому нам трудно будет найти точки соприкосновения. Вы, небось, считаете всё это разноцветное барахло чем-то сложным и важным?

Вместо того, чтобы просто показать, что Вам не нравится, Вы переходите к оскорблениям в уничижительном тоне с обесцениванием?
Нет. Не найдём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение23.08.2020, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Это полный бред от начала и до конца и здесь нечего обсуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение24.08.2020, 07:59 


20/08/20
8
Утундрий в сообщении #1480402 писал(а):
Это полный бред от начала и до конца и здесь нечего обсуждать.

Слив засчитан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение24.08.2020, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
Buddha.Sugata в сообщении #1480366 писал(а):
Я, наверное, не совсем ясно выразился.

"Ясно" и "осмыслено" не синонимы. Вы выразились ясно.

Buddha.Sugata в сообщении #1480366 писал(а):
Составляющая интервала $ dr^2 = 0 $ не означает $r = 0$.

Это не имеет отношения к тому, что из $r\propto t^{2/3}$ следует $\frac{dr}{dt}\ne0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение24.08.2020, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Buddha.Sugata в сообщении #1480478 писал(а):
Слив засчитан.

Терминология сетевого тролля детектед.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение26.08.2020, 17:50 


20/08/20
8
Цитата:
Это не имеет отношения к тому, что из $r\propto t^{2/3}$ следует $\frac{dr}{dt}\ne0$

Вы правы, спасибо. Надо вводить кривизну в метрику, и решать с ней.
Получается, что с одной стороны она однонаправленная, как время - энтропия.
А с другой - замкнутая.
Такое ощущение, что перед всеми членами метрики должна стоять общая функция от них всех - времени, энергии и пространства.

Цитата:
Терминология сетевого тролля детектед.

Прошу прощения, я только учу человеческий. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение26.08.2020, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3143
Buddha.Sugata в сообщении #1480849 писал(а):
Надо вводить кривизну в метрику, и решать с ней.

А я предлагаю ввести КПД. Вашим текстам...
Поскольку пока что Вы без опеределений пользуетесь слудеющими "терминами": интервал, метрика, кривиза, замкнутая метрика, однонаправленная метрика, интервал для системы объектов в целом, интервал для внутренних процессов, энергия внутри замкнутого контура, линейные друг другу координаты, интервал соответствующий $\mathbb{R}^4$ и ещё много других.
Я бы попросил Вас привести все эти определения, но подозреваю, что в результате количество подобных терминов будет расти экспоненциально, пока не упрётся в комбинаторный лимит над Вашим лексиконом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Энергия как дополнительное измерение в метрике Шварцшильда
Сообщение27.08.2020, 12:26 


20/08/20
8
Интервал - расстояние между двумя событиями в пространстве-времени. грешу тем, что называю квадрат интервала, соответствующий бесконечно малому смещению в пространстве, просто интервалом.
Метрика - тензор ранга (0,2), который определяет/описывает свойства пространства.
Кривизна - мера искажения одних членов метрики относительно других.

Дальше Вы не правильно поняли:
Не метрика замкнутая или однонаправленная, а кривизна, если её вводить в метрику в качестве ещё одного измерения, будет то ли замкнутой, то ли однонаправленной.

Цитата:
интервал для системы объектов в целом

энергия определяет масштаб пространства. интервалы на разных масштабах различны. следовательно, на разных масштабах плотности и характера взаимодействия энергии удобны метрики разного вида.

Цитата:
интервал для внутренних процессов

я такого не использовал.

Цитата:
энергия внутри замкнутого контура

замкнутый контур - гладкая дифференцируемая замкнутая гиперповерхность мерности n, ограничивающая некоторое количество пространства мерности n+1.
В простейшем случае, например, сфера для 3-пространства.

Цитата:
линейные друг другу координаты

Очевидно, оси без взаимной кривизны, т. е. координаты, чьи коэффициенты связности взаимно равны 0: $\Gamma^l_{jl} = \Gamma^j_{jl} = 0$

Цитата:
интервал соответствующий $\mathbb{R}^4$

Интервал, соответствующий метрике сигнатуры (1,4), вида $ds^2 = c^2 dt^2 - w^2 - x^2 - y^2 - z^2$, например.

Вы не думали, что попытка создать любую полную понятийную базу на лингвистической основе "упрётся в комбинаторный лимит над человеческим лексиконом"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group