Доказать что inf(a;b)=inf[a;b] непрерывной функции

[Bosmer2]

Задание:
f - непрерывная функция на [a;b]. Доказать, что inf(a;b)=inf[a;b].
Мое доказательство:
1) если функция достигает наименьшего значения внутри отрезка (a;b), то очевидно, что inf(a;b)=inf[a;b].
2) Пусть, без ограничения общности, функция f монотонно убывает на отрезке inf[a;b]. Тогда b=inf[a;b]. Обозначим m=inf(a;b). Предположим, что m не равно inf[a;b], тогда m>inf[a;b]=b. Но между m и b всегда найдется некоторое значение функции f(a), такое что f(a)<m (по теореме о промежуточном значении непрерывной функции и из монотонности f). Значит m не является нижней гранью, и не является инфинумом. Противоречие. Значит m= inf(a;b)=b=inf[a;b].

Вопросы: а) можно ли писать "очевидно" в пункте 1)? б) можно ли использовать "без ограничения общности" в пункте б)? в) нормальное ли это доказательство вообще?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

И уточните постановку задачи. В том, что нужно доказать, функция перестала фигурировать. Вряд ли это нормально.