комбинаторные тождества

[maxal]

Boris Skovoroda в сообщении #1704684 писал(а):

Тождество 8A. Для любых натуральных чисел $n,k,n_1,\dots,n_k$ таких, что $n_1+\dots+n_k=n$ и $k>1$, и для любого натурального числа $j$, которое меньше $k$, справедливо тождество:

$$ \sum_{m=1}^k (-1)^{k-m} \sum_{i_1,\dots,i_m}(n_{i_1}+\dots+n_{i_m})^{j}=0,$$

где внутренняя сумма вычисляется по всем неупорядоченным наборам чисел $i_1,\dots,i_m$ из множества чисел $1,\dots,k.$

Это тождество на форуме уже вылезало тут: post1143381.html#p1143381

-- Tue Oct 07, 2025 08:42:11 --

Boris Skovoroda в сообщении #1704684 писал(а):

Комбинаторное доказательство у меня оказалось значительно сложнее.

Комбинаторное доказательство не такое сложное, если заметить, что правая часть имеет вид формулы включений-исключений. С этой подсказкой ChatGPT находит такое доказательство. Я бы его подсократил раза в 2, но в целом идея правильная.

[SomePupil]

Тождество 15. Для каждого целого $n \ge 0$ докажите, что

$$(-1)^n (n!)^2 \sum\limits_{l+m=n \atop l,m \ge 0} \frac{(2l+m)!(l+2m)!}{(l!)^5(m!)^5}\left(1+(m-l)(H_{2l+m}+2H_{m+2l}-5H_{m})\right) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l}^2\binom{n+l}{l}^2.$$