Теорема Сильвестра

[Soul Friend]

Не могу найти текст доказательства теоремы Сильвестра обобщающее постулат Бертрана (теорему Чебышева-Бертрана)
Может кто поможет со ссылками, где что почитать.

[Otta]

Вложение:

A Theorem of Sylvester and Schur.pdf

[Soul Friend]

Otta
Спасибо.
Только не могу понять, найденное простое число является одним из простых делителей числа $n+x$ из $n, n+1, ... , n+k-1$, для случаев $n>2k$, или же $n+x$ и является простым числом?

[Otta]

Soul Friend в сообщении #1478223 писал(а):

Только не могу понять, найденное простое число является одним из простых делителей числа $n+x$ из $n, n+1, ... , n+k-1$, для случаев $n>2k$, или же $n+x$ и является простым числом?

Я не вижу там ни найденного простого числа, ни $n+x$. Доказательство от противного, оно не конструктивно.

[Soul Friend]

Просто на английской википедии говорится что для $n\cdot(n+1)\cdot ... \cdot(n+k-1)$ существует простое число $p>k$ делящее её без остатка, где $n>k$.
Для примера: $k=9, n=25$, получаем $25\cdot{26}\cdot{27}\cdot{28}\cdot{29}\cdot{30}\cdot{31}\cdot{32}\cdot{33}\cdot{34}\equiv0 \mod(p)$
$p>k$, тогда $p=\{11, 29, 31\}$, $11$ - это потому что $33=11\cdot 3$, найденное число $11$ - делитель числа $33$, тогда как числа $29, 31$ сами являются простыми числами. Теорема Сильвестра доказывает:
1)наличие любого простого $p>k$, или же:
2)только наличие простых $p>k$, которые входят в разложения составных чисел последовательности $n, n+1, ... , n+k-1$, такие как $11$ или же:
3)простое число $p$ входящий в состав последовательности $n, n+1, ... , n+k-1$, такие как $29, 31$ ?

-- 10.08.2020, 20:54 --

Soul Friend в сообщении #1478230 писал(а):

3)простое число $p$ входящий в состав последовательности $n, n+1, ... , n+k-1$, такие как $29, 31$ ?

Если доказывается только для этого случая, то автоматически следует верность гипотезы Лежандра.

[nnosipov]

Soul Friend в сообщении #1478230 писал(а):

Просто на английской википедии говорится что для $n\cdot(n+1)\cdot ... \cdot(n+k-1)$ существует простое число $p>k$ делящее её без остатка, где $n>k$.

Это эквивалентно тому, что написано в первом предложении статьи. Само это предложение тоже не вызывает различных толкований. Может, у Вас проблемы с переводом с английского?

[Otta]

Не знаю, я уже полчаса на это дело таращусь, пытаясь понять вторым способом.

[nnosipov]

Otta в сообщении #1478236 писал(а):

пытаясь понять вторым способом

Да, это загадка. (А я, между тем, понял и второе предложение. Там тоже все безмятежно.)

[Otta]

nnosipov
Вы молодец
Soul Friend, а Вы нет. Зачем Вы затребовали доказательство, когда не знаете формулировки? Вы же знаете, как статьи трудно искать.

-- 10.08.2020, 20:35 --

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1478237 писал(а):

(А я, между тем, понял и второе предложение. Там тоже все безмятежно.)

Проблема же не в "понять", а в "понять всеми возможными способами" :)

[nnosipov]

(Оффтоп)

Увы, я опять понял только одним

[Soul Friend]

Вот выдержка из вики:
"Bertrand's postulate was proposed for applications to permutation groups. Sylvester (1814–1897) generalized the weaker statement with the statement: the product of k consecutive integers greater than k is divisible by a prime greater than k. Bertrand's (weaker) postulate follows from this by taking k = n, and considering the k numbers n + 1, n + 2, up to and including n + k = 2n, where n > 1. According to Sylvester's generalization, one of these numbers has a prime factor greater than k. Since all these numbers are less than 2(k + 1), the number with a prime factor greater than k has only one prime factor, and thus is a prime. Note that 2n is not prime, and thus indeed we now know there exists a prime p with n < p < 2n."
Думал из доказательства что нибудь прояснится, но пока нет.

[Otta]

Soul Friend
Давайте по порядку. Постулат Бертрана как звучит? Можно и по-русски, если хотите.

[Soul Friend]

это когда между $n$ и $2n$ существует хотя бы одно простое число.

-- 10.08.2020, 23:09 --

Просто есть у меня одна гипотеза, думал доказать её с помощью теоремы Сильвестра, но она кажется немного о другом.

[Otta]

Soul Friend в сообщении #1478230 писал(а):

Просто на английской википедии говорится что для $n\cdot(n+1)\cdot ... \cdot(n+k-1)$ существует простое число $p>k$ делящее её без остатка, где $n>k$.

А написано там, что среди чисел $n,\ldots n+k-1$ (список там другой, неважно) всегда найдется число с простым делителем, большим $k$.

nnosipov в сообщении #1478233 писал(а):

Это эквивалентно тому, что написано в первом предложении статьи.

Википедия Вам разъясняет, что постулат Бертрана - частный случай утверждения теоремы Сильвестра при $n=k$

[Soul Friend]

Otta в сообщении #1478270 писал(а):

Википедия Вам разъясняет, что постулат Бертрана - частный случай утверждения теоремы Сильвестра при $n=k$

Это я знаю, мне интересны случаи когда $k<\frac{n}{2}$.
Завтра попробую изложить свою гипотезу.