Теория чисел. простое число вида 3n+1

[sunny_forever]

Доказать, что каждое простое число вида 3n+1 представляется в виде
$x^2 + 3y^2$ где x, y - целые.
Может кто подскажет готовую литературу по теории чисел, которую можно скачать.
Нашла только в книгах Г. Эдвардс "ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА" и Дирихле "Тория чисел". может кто подскажет что-нибудь еще, вдруг попонятнее будет)

[Brukvalub]

Вот еще несколько хороших книг:
http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/be38722758fd576e1975adea54344f19.djvu
http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/be38722758fd576e1975adea54344f19.djvu
http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/067f6a6a235500ae63505de0e2f6033b.djvu

[Echo-Off]

Brukvalub
Brukvalub
а зачем одну и ту же книгу два раза повторять?
а зачем одну и ту же книгу два раза повторять?

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

а зачем одну и ту же книгу два раза повторять?

Во-первых, больно книга хороша, во-вторых, повторение - МАТЬ УЧЕНИЯ!
Исправляю:
http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/2cb1278cda3c0b14fae9087e83c3b9f3.djvu

[sunny_forever]

Brukvalub, большое спасибо, все эти книги у меня есть. но хотелось бы достыпное, понятное доказательство без теории сравнений, квадратичных вычетов и квадратичного закона взаимности =)
думаю, что Эдвардс, наверно, все-таки самая подходящая книга)

[Brukvalub]

sunny_forever писал(а):

Brukvalub, большое спасибо, все эти книги у меня есть. но хотелось бы достыпное, понятное доказательство без теории сравнений, квадратичных вычетов и квадратичного закона взаимности =)

А также без переменных, констант, целых чисел, и чтобы знаков арифметических действий совсем не употреблялось?

[sunny_forever]

Brukvalub писал(а):

А также без переменных, констант, целых чисел, и чтобы знаков арифметических действий совсем не употреблялось?

а вы почитайте или хотя бы посмотрите Эдвардса на досуге. настолько понятно, что даже более-менее образованный старшеклассник поймет

[Brukvalub]

sunny_forever писал(а):

а вы почитайте или хотя бы посмотрите Эдвардса на досуге. настолько понятно, что даже более-менее образованный старшеклассник поймет

Так на моей картинке же видно, что никакой я не старшеклассник, а - так, букашка неучёная Не понять мне....

[maxal]

Почитайте "Высшую арифметику" Дэйвенпорта (есть на http://ega-math.narod.ru/ ) - а именно, как там выводиться представимость чисел в виде суммы квадратов и по аналогии рассмотрите случай $x^2+3y^2$.

[sunny_forever]

Всем большое спаибо!

[RIP]

Можно дать "явную" формулу для $x,y$. Обозначим

$$S(k)=\sum_{a=0}^{p-1}\left(\frac{a^3+k}p\right).$$

Если $g$ — первообразный корень $\mod p$, то числа $x=\frac{S(1)}2$, $y=\frac13\left(S(g^2)+\frac{S(1)}2\right)$ целые и удовлетворяют $p=x^2+3y^2$.

[maxal]

RIP, а для каких еще коэффициентов $u,v$ из формы $ux^2 + vy^2$ можно указать подобные формулы?

[RIP]

Я знаю только для $u=v=1$ и для $u=1,v=3$.
Для $u=v=1$ 2 подобные формулы есть в Виноградове (Гл. V, вопрос 9с и Гл. VII, вопрос 2$\gamma$; у меня девятое издание).
Данный пример взят из Степанов С.А. — Арифметика алгебраических кривых (Гл. I, §1, задача 16).