Движение кордовой авиамодели

[GorSMS]

Друзья, помогите решить задачу (хотя бы в аналитическом виде), которую подкинул внук-авиамоделист.
Модель самолета массой m приводится в движение за счет тяги винта, и двигаясь на кордах длиной (радиусом) r, может находиться в любой точке верхней полусферы. Вектор направления движения модели может быть расположен под любым углом к нормали поверхности полусферы в любой ее точке. Скорость модели в горизонтальном полете равна v, но недостаточна для пролета через точку зенита при изменении направления движения с горизонтального на вертикальное без изменения тяги винта и скорости модели. Учитывая, что траектория модели произвольная, необходимо определить минимальную скорость движения в каждой точке полусферы, достаточную для того, чтобы модель могла устойчиво двигаться в любую сторону под любым углом наклона корд к горизонту, а также пересекать точку зенита без сваливания (за счет центробежной силы).
Предполагаю, что для решения задачи можно уйти от полусферы, и ограничиться вертикальной плоскостью, на которой расположить один квадрант радиусом r, и анализировать поведение модели только на участке от горизонтального положения модели до точки зенита. Тогда вращая вектор направления движения модели вокруг нормали к радиусу r, можно будет построить пространственную матрицу скоростей, достаточных для обеспечения движения модели без провисания корд и ее сваливания. В этом случае анализируя положение модели в реал тайм (допустим с помощью трех-осевого акселерометра), можно будет изменять обороты двигателя для обеспечения необходимой скорости движения модели в любом ее положении в любой точке полусферы. Понимаю, что предлагаемая аналитическая модель не учитываем множество внешних факторов (прежде всего направления и силу ветра, массу корд, подъемную силу крыла модели, и т.д.), но на первом этапе решения задачи этими параметрами можно пренебречь.
С технической точки зрения реализация задачи не вызывает больших затруднений (всю жизнь занимаюсь разработкой электроники), но вот с математикой и физикой уже возникают проблемы. Разумеется, формулу центростремительного ускорения при движении тела по окружности я еще помню, но этого явно маловато… Буду благодарен за любую помощь и подсказки.

[wrest]

Для сферического самолета в вакууме будет так.
Поскольку кинетическая энергия равна $E_k=\dfrac{mv^2}{2}$ а потенциальная $E_p=mgh$ то чтобы подпрыгнуть на высоту $h$ без учета всех потерь, нужна скорость $v=\sqrt{2gh}$
Если тяга отнесенная к массе равна $p$, то получаем $v=\sqrt{2h(g-p)}$
Поскольку самолет привязан, то его тяга направлена (в лучшем случае) по касательной к полусфере, значит вертикальная часть тяги не больше $p\cos \alpha$ где $\alpha$ угол места самолета. Это тоже вероятно надо учесть.
Сюда надо добавить условие несваливания, но я не знаю как для несферического самолета в воздухе -- из-за подъемной силы.
Мне кажется, что просто нужна тяга большая, чем вес, $p>g$ (как у вертолетов). Тогда будет летать в любых направлениях.

[GorSMS]

Благодарю за оперативный ответ, уважаемый wrest!

wrest в сообщении #1477002 писал(а):

Поскольку кинетическая энергия равна $E_k=\dfrac{mv^2}{2}$ а потенциальная $E_p=mgh$ то чтобы подпрыгнуть на высоту $h$ без учета всех потерь, нужна скорость $v=\sqrt{2gh}$

Здесь все ясно, это классическая механика. Но дальше у меня возникают некоторые сомнения в Ваших выводах (или их недопонимание) .

Цитата:

Если тяга отнесенная к массе равна $p$, то получаем $v=\sqrt{2h(g-p)}$
Поскольку самолет привязан, то его тяга направлена (в лучшем случае) по касательной к полусфере, значит вертикальная часть тяги не больше $p\cos \alpha$ где $\alpha$ угол места самолета. Это тоже вероятно надо учесть.

Фактически вектор тяги направлен не по касательной в поверхности сферы, а под небольшим (2-3 градуса) углом от ее центра. Это добавляет натяжение кордам. Однако в рамках рассматриваемой задачи можно считать вектор тяги нормальным к кордам, т.е. направленным вдоль оси фюзеляжа, которая перпендикулярна кордам (хотя, строго говоря и это не совсем так ). Но мне кажется, что приведенная Вами формула справедлива лишь при вертикальном полете модели. Или я не прав?

Цитата:

Сюда надо добавить условие несваливания, но я не знаю как для несферического самолета в воздухе -- из-за подъемной силы. Мне кажется, что просто нужна тяга большая, чем вес, $p>g$ (как у вертолетов). Тогда будет летать в любых направлениях.

Влияние подъемной силы существенно лишь при полете модели по траекториям, близким к горизонтальным круговым, да и то лишь на высотах, когда угол между кордами и плоскостью горизонта не превышает 45...60 градусов. В верхней же части полусферы, и при выполнении вертикальных эволюций модель держится лишь за счет центробежной силы. Но эта сила, при скорости движения, равной скорости движения по горизонту, не достаточна для удержания модели в области зенита. И тяга винта, по моему мнению, здесь не при чем... Важна фактическая мгновенная скорость, которая и создает центростремительное ускорение. А вот при переходе модели из горизонтального полета в вертикальный, да, требуется достаточная тяга.
Но мне хотелось бы получить аналитическую зависимость центростремительного ускорения от направления движения модели в каждой точке полусферы. Тогда уже можно будет рассуждать о тяге и подъемной силе.
Так что Ваше ироничное сравнение модели со сферическим конем в вакууме не просто улыбнуло, но и оказалось весьма верным.
Выше я предположил, что для вычисления требуемого ускорения, и составления трехмерной таблицы скоростей достаточно проанализировать лишь несколько точек на вертикальной траектории движении модели от основания полусферы (горизонтальный полет) до точки зенита. Допустим, при фиксированных углах наклона корд в 0, 15, 30, 45, 60, 75 и 90 градусов. Но при этом в каждой из этих семи точек потребуется просчитать ускорение в зависимости от угла наклона продольной оси модели. А это еще, как минимум, 10...15 точек. Итого, в таблице должно быть порядка сотни значений ускорений, которые обеспечат гарантированное стабильное натяжение корд в любой точке полусферы и при любом положении модели. Здесь потребуется учитывать еще и массу модели, моменты инерции и ускорение свободного падения. Вот этого-то замеса я и не могу сделать, к сожалению.

[Утундрий]

GorSMS
А не проще измерять натяжение корда напрямую?

[EUgeneUS]

GorSMS в сообщении #1476969 писал(а):

Вектор направления движения модели может быть расположен под любым углом к нормали поверхности полусферы в любой ее точке.

Она же у Вас улетит тогда в далекие дали
Видимо, нужно читать так: "вектор скорости модели может быть расположен в любом направлении, перпендикулярном нормали к поверхности полусферы".

GorSMS в сообщении #1476969 писал(а):

Учитывая, что траектория модели произвольная, необходимо определить минимальную скорость движения в каждой точке полусферы, достаточную для того, чтобы модель могла устойчиво двигаться в любую сторону под любым углом наклона корд к горизонту, а также пересекать точку зенита без сваливания (за счет центробежной силы).

Это несложно. Сумма проекций всех сил, кроме силы натяжения кордов, на корды больше нуля.

Но это как-то слабо связано с условием, приведенным выше:

GorSMS в сообщении #1476969 писал(а):

Скорость модели в горизонтальном полете равна v, но недостаточна для пролета через точку зенита при изменении направления движения с горизонтального на вертикальное без изменения тяги винта и скорости модели.

Сформулируйте условие задачи более корректно, пожалуйста.
Что нужно найти и при каких условиях.

[ozheredov]

(Оффтоп)

GorSMS в сообщении #1476969 писал(а):

внук-авиамоделист

Не прикалывайтесь, пожалуйста, над ребёнком -- объясните ему, что 2К20 уже наступил и все модели сейчас -- радиоуправляемые

[wrest]

GorSMS в сообщении #1477017 писал(а):

Но мне кажется, что приведенная Вами формула справедлива лишь при вертикальном полете модели. Или я не прав?

Правы, правы.

[GorSMS]

Утундрий в сообщении #1477030 писал(а):

GorSMS
А не проще измерять натяжение корда напрямую?

Возможный вариант, но технически более сложный. Была мысль измерять натяжение корд, установив тензодатчик на ручке управления, и писать его показания в базу данных. Но как при этом фиксировать положение модели в воздухе? А установить тензодатчик непосредственно на модель вряд ли получится.

EUgeneUS в сообщении #1477034 писал(а):

Видимо, нужно читать так: "вектор скорости модели может быть расположен в любом направлении, перпендикулярном нормали к поверхности полусферы".

Ваша правда. Именно это я имел в виду.

Цитата:

Это несложно. Сумма проекций всех сил, кроме силы натяжения кордов, на корды больше нуля.

Ну тут, как говорится, "кому как". Написать формулу, учитывающую все пространственные параметры пока не получается.

Цитата:

Но это как-то слабо связано с условием, приведенным выше:

GorSMS в сообщении #1476969 писал(а):

Скорость модели в горизонтальном полете равна v, но недостаточна для пролета через точку зенита при изменении направления движения с горизонтального на вертикальное без изменения тяги винта и скорости модели.

Сформулируйте условие задачи более корректно, пожалуйста. Что нужно найти и при каких условиях.

Хех... Попробую, но боюсь, букавок получится много.
Итак, фаза полета по горизонту на нулевой высоте. За нулевую высоту принимаем уровень плеча пилота, управляющего моделью. Здесь достаточно минимальной скорости модели, обеспечивающей натяжение корд силой, примерно равной силе тяжести, действующей на модель, т.е. около 1 кг. В этом случае модель будет удерживаться на заданной высоте подъемной силой крыла. Следовательно, тяга винта должна быть, условно говоря, "крейсерской", а мотор должен работать на оборотах чуть ниже средних. Будем считать это "режимом 1".
Картина несколько изменится, если пилот поднимет модель на высоту, примерно равную $1/2r$ (корды будут под углом 45 градусов к горизонту). Не смотря на то, что линейная скорость модели не изменится, подъемная сила станет меньше, да и центробежная сила уменьшится, поэтому потребуется увеличить скорость полета, т.е. изменить тягу.
Если же поднять модель еще выше, и летать так, что корды будут описывать узкий перевернутый конус с углом раскрыва порядка 30 градусов, то говорить о какой-либо подъемной силе вообще бессмысленно. Удержать модель на такой траектории можно исключительно за счет значительного увеличения скорости. Здесь мотор должен работать на максимальных оборотах ("режим 2").
Теперь рассмотрим переход модели из горизонтального полета в вертикальный подъем, и переход строго через точку зенита. Как только модель совершит эволюцию, и ее нос будет направлен вверх, также будет необходимо увеличить тягу винта так, чтобы к точке зенита модель набрала достаточную скорость, при которой центробежная сила станет как минимум в два раза больше веса модели. Иначе натяжение корд ослабнет, и управлять моделью стане не возможно. Как только модель пройдет через зенит, и начнет движение вниз, требуется уменьшить тягу до минимума ("режим 3"), но при переходе с вертикальной траектории в горизонтальный полет тяга вновь должна быть увеличена до "режима 1".
При выполнении петель режим мотора должен изменяться по своему закону: в первой половине петли (модель летит вверх) тяга должна быть примерно равной "режиму 2" (или чуть меньше, так как верхняя точка петли находится существенно ниже точки зенита), но после прохода верхней точки (начало второй половины петли и движение модели вниз) должен устанавливаться "режим 3", с переходом в "режим 1" при завершении петли.
Это далеко не все фигуры и эволюции, которые способна выполнять модель. В любом случае, натяжение корд должно быть не менее веса модели. Но давайте двигаться вперед постепенно.
Вот как-то так, в первом приближении... Надеюсь, что теперь мои "хотелки" стали более понятны уважаемой публике.
В идеале хотелось бы получить аналитическую формулу, связывающую пространственное положение модели (по трем координатам), и ее массу, для того, чтобы можно было рассчитать мгновенную скорость полета и центростремительное ускорение (или центробежную силу?), обеспечивающие достаточное натяжение корд при любой траектории движения и в любой точке полусферы.

ozheredov в сообщении #1477037 писал(а):

(Оффтоп)

Не прикалывайтесь, пожалуйста, над ребёнком -- объясните ему, что 2К20 уже наступил и все модели сейчас -- радиоуправляемые

Во-первых, это не так. Не смотря на то, что за окном 2020 год, кордовые классы еще живут. А во-вторых, выбор кордового моделизма это не мое решение, и я не считаю нужным переубеждать внука. Наступит время, сам поймет, наверное...

[Утундрий]

GorSMS в сообщении #1477054 писал(а):

Была мысль измерять натяжение корд, установив тензодатчик на ручке управления, и писать его показания в базу данных. Но как при этом фиксировать положение модели в воздухе?

Зачем?

[wrest]

GorSMS в сообщении #1477054 писал(а):

Картина несколько изменится, если пилот поднимет модель на высоту, примерно равную $1/2r$ (корды будут под углом 45 градусов к горизонту).

Вы наверное имели в виду высоту $\dfrac{1}{2}r$ ? Это при угле 30° :) $h=r\sin \alpha$

-- 03.08.2020, 00:21 --

GorSMS в сообщении #1477054 писал(а):

Здесь достаточно минимальной скорости модели, обеспечивающей натяжение корд силой, примерно равной силе тяжести, действующей на модель, т.е. около 1 кг.

Это будет при линейной горизонтальной скорости $v=\sqrt{gr}$

-- 03.08.2020, 00:46 --

GorSMS в сообщении #1477054 писал(а):

Не смотря на то, что линейная скорость модели не изменится, подъемная сила станет меньше,

Почему подъемная сила уменьшится? Из-за крена самолета? У него крен (наклон) равен углу между кордои и горизонтом?

GorSMS в сообщении #1477054 писал(а):

да и центробежная сила уменьшится,

Центростремительное ускорение самолёта, при той же линейной скорости, и горизонтальном полёте -- увеличится, т.к. оно будет равно $a=\dfrac{v^2}{r \cos \alpha}$ где $r$ -- длина корда, $\alpha$ -- угол между горизонтом и кордом (т.к. радиус по которому движется самолет уменьшится и станет равным $r\cos \alpha$). Но направлено это центростремительное ускорение будет параллельно горизонту (при горизонтальном движении). Компенсировать его будут подъемная сила, сила тяжести и натяжение корда.

-- 03.08.2020, 00:53 --

GorSMS в сообщении #1477054 писал(а):

Но как при этом фиксировать положение модели в воздухе?

Гироскопом/акселерометром в смартфоне можно, если закрепить смартфон относительно корда. Например закрепить смартфон на руке и держать руку по возможности параллельно корду.

Если заморочиться, можно парой смартфонов снимать видео и по углам (и известной длине корда) вычислять положение самолета в любой момент (а значит и скорость). Есть программы, которые на видео ставят метки времени, смартфоны можно откалибровать с точностью в один кадр просто снимая одни и теже часы, например. Но это потребует усилий, имеет смысл именно как семостоятельный образовательный проект по геометрии\математике\физике...

[GorSMS]

Утундрий в сообщении #1477057 писал(а):

Зачем?

Зачем что? Устанавливать тензодатчик в ручку управления? Писать данные в базу? Фиксировать положение модели в воздухе? Или зачем вообще заниматься этой фигней?

wrest в сообщении #1477058 писал(а):

Вы наверное имели в виду высоту $\dfrac{1}{2}r$? Это при угле 30° :) $h=r\sin \alpha$

Ну да, Вы опять показали мою некомпетентность в элементарной математике, и неумение пользоваться системой LaTeX. Формально высота будет равна $\dfrac{1}{2}r$ при угле наклона корд 30 градусов. Но насколько это принципиально при аналитическом разборе задачи? Я же написал: "примерно"... Ну пусть наклон корд останется прежним (45 градусов), а высота станет равной 0,7$r$. Это что-то меняет в сути моих (или Ваших) рассуждений? Конечно здорово, когда у человека в голове есть таблицы Брадиса, виртуальная логарифмическая линейка, или, на худой конец, кУлькулятор от Ситизен. Каюсь, у меня в голове их уже нет. Но вернемся к моим баранам.

Цитата:

Это будет при линейной горизонтальной скорости $v=\sqrt{gr}$

Абсолютно верно, но только тогда, когда речь идет о полете по горизонту. И (с формальной точки зрения) следовало бы добавить, что $g$ == $a$. А то я не сразу понял, причем здесь "$g$" (ускорение свободного падения).

Цитата:

Почему подъемная сила уменьшится? Из-за крена самолета? У него крен (наклон) равен углу между кордои и горизонтом?

Именно по этому. Вертикальная составляющая вектора подъемной силы, компенсирующая вес модели, станет меньше.

Цитата:

Центростремительное ускорение самолёта, при той же линейной скорости, и горизонтальном полёте -- увеличится, т.к. оно будет равно $a=\dfrac{v^2}{r \cos \alpha}$ где $r$ -- длина корда, $\alpha$ -- угол между горизонтом и кордом (т.к. радиус по которому движется самолет уменьшится и станет равным $r\cos \alpha$).

Позволю себе с Вами не согласиться. Такой полет не является горизонтальным! Следовательно, Ваши дальнейшие выводы не корректны. Рассмотрим предельный случай такого полета, когда радиус траектории (не корд!) модели вокруг точки зенита будет стремиться к нулю. В этом случае (а практически он не бессмысленен) модель не удержать в воздухе никакими силами, действующими внутри этой замкнутой системы! Вы постоянно привязываетесь в длине корд, и считаете, что модель летает "блинчиком", а это далеко не так...
Вы же сами пишете:

Цитата:

Но направлено это центростремительное ускорение будет параллельно горизонту (при горизонтальном движении). Компенсировать его будут подъемная сила, сила тяжести и натяжение корда.

А меня интересует только составляющая центростремительного ускорения, направленная к центру полусферы, так как именно эта часть и создает натяжение корд.

Цитата:

Гироскопом/акселерометром в смартфоне можно, если закрепить смартфон относительно корда. Например закрепить смартфон на руке и держать руку по возможности параллельно корду.

Это не реально. Рука пилота при управлении моделью живет своей жизнью, совершая движения в пространстве, редко напоминающие траекторию полета модели.

Цитата:

Если заморочиться, можно парой смартфонов снимать видео и по углам (и известной длине корда) вычислять положение самолета в любой момент (а значит и скорость). Есть программы, которые на видео ставят метки времени, смартфоны можно откалибровать с точностью в один кадр просто снимая одни и теже часы, например. Но это потребует усилий, имеет смысл именно как семостоятельный образовательный проект по геометрии\математике\физике...

Моей целью является создание устройства, автоматически управляющего режимом работы двигателем модели, а не гипотетические изыскания ради изысканий, или повышение (восстановление?) уровня моего образования. Хотя последнее тоже не лишено практического смысла.
Я обратился за помощью именно потому, что понимаю, что моих сегодняшних знаний, мягко говоря, не хватает...
Если же моя постановка задачи не достаточно корректна (не исключаю этого), то попробую изобразить графически, что же именно я хотел бы получить в итоге. Возможно это поможет устранить взаимное недопонимание. В любом случае, благодарю Вас, wrest, за время, потраченное на общение со мной.

P.S. Позвольте вопрос: что означает такая строка?
-- 03.08.2020, 00:53 --
Дату и время редактирования сообщения? Не приходилось с таким встречаться.

[EUgeneUS]

GorSMS в сообщении #1477080 писал(а):

Моей целью является создание устройства, автоматически управляющего режимом работы двигателем модели,

Вот с этого и продолжим.
Решение тривиальное - газ до отказа А дальше, куда вытянет.
Видимо, это решение по каким-то причинам не подходит. По каким?

[wrest]

GorSMS в сообщении #1477080 писал(а):

Если же моя постановка задачи не достаточно корректна (не исключаю этого), то попробую изобразить графически, что же именно я хотел бы получить в итоге. Возможно это поможет устранить взаимное недопонимание.

Да, это было бы очень полезно.

GorSMS в сообщении #1477080 писал(а):

Ну да, Вы опять показали мою некомпетентность в элементарной математике, и неумение пользоваться системой LaTeX.

Дело не в этом, просто тут принято пользоваться LaTeX-ом и читать то, что написано, особенно формулы, т.к. это формальный язык, допускающий меньше двояких толкований, чем естественный язык. Вам иногда кажется, что вы ясно описали задачу словами, но так редко бывает, потому что вы сами сейчас внутри этой задачи, а ваши собеседники смотрят на неё снаружи, и вряд ли, например, кто-то имеет свежий опыт пилотирования кордовых моделей. Я например думал, что достаточно натяжения корда просто больше нуля, а оказывается надо не меньше $mg$.

[GorSMS]

wrest в сообщении #1477089 писал(а):

Да, это было бы очень полезно.

Попробую графически формализовать поставленную задачу. Прошу сильно не пинать за качество картинки.



На рисунке изображена некая траектория, по которой может двигаться модель. Но меня интересует анализ всех параметров в только в произвольной точке М. В принципе, угол a может изменяться от 0 до 90 градусов, а векторы X и Z могут вращаться вокруг вектора Y на 360 градусов при сохранении их общей ортогональности.
Результатом должна быть величина вектора V, при которой центростремительное ускорение (вектор Y) будет превышать значение Р в N раз. Как это сделать в аналитической форме, без конкретных значений?
Если будет выведена формула, описывающая требуемые соотношения в произвольной точке М, я смогу создать таблицу значений требуемых скоростей, варьируя начальные значения угла а и угла поворота векторов X и Z вокруг вектора Y.

[wrest]

GorSMS
У меня вопрос по картинке. Почему вы считаете вектор центростремительного ускорения $Y$ совпадающим с кордом (натяжением)? Это же центростремительное ускорение самолёта, я верно понимаю? Оно всегда направлено к центру кривизны траектории. Поясню. Допустим, модель летает горизонтально (т.е. по окружности на одной постоянной фиксированной высоте от земли, высота больше нуля, ну скажем на высоте $h=\frac12R$, корд под углом в 30° к горизонту) - это же возможно? В этом случае вектор центростремительного ускорения будет направлен параллельно горизонту, то есть не будет параллелен корду, а будет составлять те самые 30° с кордом.

Особенно указанное несоответствие будет актально при маневрах.

То есть на картинке вектор $\vec Y$ -- это по факту вектор [силы] натяжения корда, и он действительно направлен вдоль корда. Так что надо или ввести новый вектор натяжения например $\vec T$ вместо $\vec Y$ или переназвать $\vec Y$ как вектор натяжения и ввести новый вектор -- центростремительного ускорения.

Ещё есть маленький вопрос совпадают ли векторы тяги и скорости, но вроде на первый взгляд - совпадают.