Целые значения рациональной функции-2

[nnosipov]

rightways
В каком месте доказательства Вы используете то, что $a^2-4c$ и $b^2-4c$ не являются точными квадратами? Навскидку не нашел.

С доказательством так или иначе все должно получится, да и оценка $k \leqslant |a|+|b|+|c|+2$ кажется естественной (во всяком случае, ее нельзя улучшить). В своем доказательстве я явную оценку не выводил, оно именно что качественное и почти устное. Но вполне конструктивное и должно привести к какой-нибудь оценке (надеюсь, что к такой же). Как сочиню, поделюсь.

[rightways]

Еще был случай $x_1=0$ - там и нужно будет это условие.

[nnosipov]

Да, понятно.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1476398 писал(а):

Целые числа $x$ и $y$ таковы, что число

$$\frac{x^2+y^2+x+y-1}{xy}$$

также является целым. Докажите, что $(x,y)=(\pm 1,\pm 1)$.

Вот что у нас было:

maxal в сообщении #149447 писал(а):

maxal писал(а):

Задача сводится к делимости $pq|(1-p-q+p^2+q^2).$

Если кому-то интересно, решение этой задачи (и ее обобщений) представлено в статье:

W. H. Mills "A system of quadratic Diophantine equations." Pacific J. Math. Volume 3, Number 1 (1953), 209-220.

Статья не выходит за рамки элементарной математики (доступной для понимания школьникам), но результаты получаются очень красивые. Я прочитал с удовольствием.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1483150 писал(а):

Вот что у нас было

Да, дело как раз в этой статье: мне захотелось передоказать результат Милса. Хотел об этом написать, но текст пока не готов. С качественной точки зрения все очевидно, но вот с количественной (точные универсальные оценки) возникают проблемы.