2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение20.05.2008, 22:40 
Аватара пользователя
Общее решение уравнения:
$y(x)=C_1cos(\sqrt{\lambda}x)+C_2sin(\sqrt{\lambda}x)$ начальному условию $y(0)=0$ удовлетворяет только $C_2sin(\sqrt{\lambda}x)$. Подставляем начальное условие $y'(0)=1$ получаем, что $$СC_2=\frac 1 {\sqrt{\lambda}}$$.
Подставляем правое начальное условие:
$y'(\pi)=-\frac {\sqrt{2}} 2=cos(\sqrt{\lambda}x)$. Отсюда $\lambda=(-1)^n{\frac 5 6}+2k$ минимальное положительное значение $\frac 5 6$, следовательно $max=\frac 6 5$. Вот, вроде всё.

Добавлено спустя 2 часа 51 минуту 26 секунд:

Немного смущает, что $C_2$ зависит от $\lambda$. Это нормально?

 
 
 
 
Сообщение21.05.2008, 07:39 
правильно смущает, произвольная постоянная не может зависеть от спектрального параметра, на то она и произвольная.

Откуда Вы начальное условие на производную-то взяли? А на правом конце, наоборот, недоподставили. Посмотрите внимательнее на свои граничные условия.

Подсказка. Уравнение на собственные числа получится трансцедентным, и его решение явно через элементарные функции не выражается. Ну увы.

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:13 
Аватара пользователя
ewert, получилось $tg(\sqrt{\lambda}\pi)=-\sqrt{\lambda}$, правильно?
P.S. Интересно, можно ли доказать что оно нерешается аналитически?

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 18:24 
Spook писал(а):
ewert, получилось $tg(\sqrt{\lambda}\pi)=-\sqrt{\lambda}$, правильно?
P.S. Интересно, можно ли доказать что оно нерешается аналитически?

наверное, можно. Более того, кто-то уж много раз подобные факты доказывал. Только для меня вот принято к сведению, что уравнения типа $x=\tg \alpha x$, или с заменой тангенса на чего там угодно -- явно не решаются. Лично мне этого достаточно.

 
 
 
 
Сообщение23.05.2008, 19:17 
Аватара пользователя
Ну и мне покачто тоже) в крайнем случае графически можно решить или численно.
Задача решена, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group