работы Рамануджана

[Alik]

Смотри вот цитата из соседнего топика:

Valk писал(а):

Про трансцендентность числа $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ действительно написал глупость. Дело, впрочем, не в этом. Неразрешимость в общем случае уравнений степени >4 в радикалах установлена. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.
Но на примере полиномиального уравнения $\sin(7x)=1/3$ хотелось показать, что с использованием триг. и обратных триг. функций решаются некоторые и неразрешимые в радикалах уравнеия. (Хотя как установить точно, что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ не выражается в радикалах?? С помощью MAPLE не удалось решить полиномиальное уравнение 14-ой степени $\sin(7x)=1/3$ ...) Так вот вопрос: с радикалами все понятно, но с использованием триг. и обратных триг. функций какие уравнения можно точно решить?

Это я к тому что почти невозможно представить в классической троичной системе алгебраические числа. Задача очень похожа на то, что в принципе интересует меня - хорошо (<е-9) приближенные значения sin, cos

[tolstopuz]

Alik писал(а):

Это я к тому что почти невозможно представить в классической троичной системе алгебраические числа

Откуда такая зацикленность на основании системы? Какая разница, двоичная, троичная или десятичная, если все равно ни в одной из них нельзя точно представить ни одно иррациональное число? А по поводу иррациональных оснований - алгебраических чисел много, минимальные многочлены у всех разные, на каждое систем не напасешься. Математика большая, в ней и кроме позиционных систем счисления есть куча средств. Векторные пространства, например.

К тому же если взять почти любое кубическое уравнение (лишь бы дискриминант не был полным квадратом) и объявить один из его корней основанием системы, мы не сможем точно выразить в ней даже два остальных корня. А ради чего тогда все это?

Alik писал(а):

Задача очень похожа на то, что в принципе интересует меня - хорошо (<е-9) приближенные значения sin, cos

Ни одно конкретное иррациональное основание для этой задачи не поможет добиться лучших результатов, чем обычный двоичный (в крайнем случае троичный) процессор и 32-битная фиксированная или 64-битная плавающая точка.

[Alik]

Ладно, подойдем к вопросу с другой, формальной стороны: курьез компактности системы по основанию е. Я кстати не нашел в англоязычном интернете, что это вывел именно фон Нейман.
Та куча народу, которая ссылается на это не понимает смысл утверждения, недолюбливает бинарную систему, но выбора нет.Кто-то из них знает о существовании остаточных классов, но ее сложно использовать.
Удобно работать с троичной системой, т.е. цель - добавить в нее неочевидные свойства для приближенных вычислений.

[tolstopuz]

Alik писал(а):

Ладно, подойдем к вопросу с другой, формальной стороны

А в чем, собственно, состоит вопрос?

Alik писал(а):

Удобно работать с троичной системой, т.е. цель - добавить в нее неочевидные свойства для приближенных вычислений.

Свойства для приближенных вычислений давно известны - если уменьшение цены разряда после запятой мажорируется геометрической прогрессией, то мы имеем хорошую оценку точности при округлении, а дальше при желании создаем на этой основе алгоритмы работы с плавающей точкой, как, например, у Кнута. А делать из нескольких приближенных равенств Рамануджана, не понимая их сути, далеко идущие выводы - это уже нумерология.

[Alik]

Ну допустим выводов из Рамануджана я не делал - только предположение, возможно слишком смелое. А к плавающей точке переходить не хочется - погляди 80% рынка микроконтроллеров целочисленные. То есть как бы сделать так, чтобы вычислять тригонометрию целочисленно - на елочку взлесть и жопку не поцарапать.

Присоветуте что почитать о

Цитата:

мажорируется геометрической прогрессией

[tolstopuz]

Alik писал(а):

А к плавающей точке переходить не хочется - погляди 80% рынка микроконтроллеров целочисленные. То есть как бы сделать так, чтобы вычислять тригонометрию целочисленно - на елочку взлесть и жопку не поцарапать.

Отлично, есть еще фиксированная точка. Тоже приближенные расчеты, но мантисса с известным масштабированием, без порядка. И никакая система счисления здесь не поможет - всю таблицу синусов она все равно точно не представит.

Alik писал(а):

Присоветуте почитать про

Цитата:

мажорируется геометрической прогрессией

Матан, первый курс.

[Alik]

Сдаюсь, сопротивляться на сегодня сил не осталось. Спасибо.

[Mac Buster]

Alik писал(а):

Меня не поняли и били палками - люди уже 2 с лишним года разговаривают и не одной нормальной идеи.

Извини, Алик, ты ошибся несколько раз:

- мы ведем неспешное обсуждение этой темы всего-то год;
- тебя поняли;
- тебя не били палками;
- почти сразу предупредили что сайт посвящен исключительно уравновешенной троичной системе счисления;
- идеи есть, в том числе и нормальные;

*шепотом*: даже кой-чего из аппаратуры есть

Цитата:

Плюс ко всему гнут линию партии.

По-моему на своём сайте можем гнуть что угодно в рамках приличия

[Mac Buster]

tolstopuz писал(а):

Особенно меня порадовало обсуждение алгоритма определения четности в троичной системе, которое свелось к выяснению того, является ли 0 четным

Да, мы отвлеклись

[Alik]

Скажите пожалуйста что такое "алгебраические числа непредставимые в радикалах"? Я так понимаю: они вещественные корни какого-либо уравнения, допустим 7-ой степени, но почему их нельзя выразить через корень 7-, 6-, 5-ой и т.д. степеней не знаю.
Вот еще одна загадка для меня (без претензий на коллекцию) как эти формулы связаны с золотым сечением?
http://www.nsu.ru/materials/ssl/text/me ... levin.html

[tolstopuz]

Alik писал(а):

Скажите пожалуйста что такое "алгебраические числа непредставимые в радикалах"? Я так понимаю: они вещественные корни какого-либо уравнения, допустим 7-ой степени

Да. Или комплексные.

Alik писал(а):

но почему их нельзя выразить через корень 7-, 6-, 5-ой и т.д. степеней не знаю.

Чтобы это понять, надо знать теорию Галуа. Есть книга Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях", в принципе понятная очень способному школьнику:
http://www.mccme.ru/free-books/

Alik писал(а):

Вот еще одна загадка для меня (без претензий на коллекцию) как эти формулы связаны с золотым сечением?

А никак. Они связаны с $\sqrt 5$. Там есть еще куча формул с другими квадратным корнями. Судя по всему, результаты теории абелевых расширений дают много красивых формул, относящихся к квадратичным расширениям.

[Alik]

Но как с этим связаны циклические дроби с exp, формула для пи и последнее уникальное выражение?

[tolstopuz]

Alik писал(а):

Но как с этим связаны циклические дроби с exp, формула для пи и последнее уникальное выражение?

Читайте книги - они рулез

Лично я не знаю. Но есть куча более простых формул, про которые уже знаю. Вон, например, недавно решал задачу из Альфорса:

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\frac 1 {z^3 - n^3} = \frac \pi {3z^2}\left(\cot \pi z + \frac {\sin \pi z + \sqrt 3 sh \pi \sqrt 3 z}{ch \pi \sqrt 3 z - \cos \pi z}\right)$

[Alik]

Зато ты знаешь хотя бы где все это найти.
Ну хочется мне взять красивую иррациональную формулу для е, пи, sin, cos и посмотреть к чему приведут приближенные вычисления допустим коэффициентов БИХ фильтра на них основанные.
Кстати о приближении трансцендентных чисел иррациональными - может быть знаете ссылки на готовые формулы?

[maxal]

Раз пошла такая пьянка:



Эти формулы найдейны с помощью компьютера, их доказательство науке неизвестно.