Векторное поле

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1475799 писал(а):

А вот это - совершенно не так. Откуда взялось пространство $\mathbb{R}^{n+1}$?

Тогда давайте рассмотрим такую ситуацию.
$\mathbf{a}(x) = 2x\mathbf{i}$
Вопрос: в этом случае векторное поле задано в $ \mathbb{R}^{1}$ или $ \mathbb{R}^{2}$?

Утундрий в сообщении #1475810 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1475797 писал(а):

Пусть есть векторное поле в $\mathbb{R}^n$. Тогда каждой точке этого поля соответствует вектор $\mathbf{a}(x^1, x^2,...,x^n)$.

А что такое "точка векторного поля" и как она умудрилась оказаться не вектором?

Не совсем понимаю, что вы хотите сказать.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1475857 писал(а):

Вопрос: в этом случае векторное поле задано в $ \mathbb{R}^{1}$ или $ \mathbb{R}^{2}$?

В $\mathbb{R}^1$.
И можно изобразить это векторное поле в $\mathbb{R}^1$: для этого нужно представить, что из каждой точки $x$ на числовой прямой торчит вектор с координатой $2x$ на этой же прямой.

[Утундрий]

Solaris86 в сообщении #1475857 писал(а):

Не совсем понимаю, что вы хотите сказать.

Термин "векторное поле" занят и имеет определённое значение. Что Вы имели в виду под своим "векторным полем"?

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1475859 писал(а):

В $\mathbb{R}^1$.
И можно изобразить это векторное поле в $\mathbb{R}^1$: для этого нужно представить, что из каждой точки $x$ на числовой прямой торчит вектор с координатой $2x$ на этой же прямой.

Тогда такой вопрос график функции $f = 2x$ - это же $\mathbb{R}^2$, а у нас поле задано в $\mathbb{R}^1$. Этого я понять и не могу.

Утундрий в сообщении #1475870 писал(а):

Термин "векторное поле" занят и имеет определённое значение. Что Вы имели в виду под своим "векторным полем"?

Не понимаю ваших придирок про точку. Вот фрагмент методички из МФТИ:

Видно, что слово "точка" фигурирует в определении векторного поля.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1475875 писал(а):

Тогда такой вопрос график функции $f = 2x$ - это же $\mathbb{R}^2$, а у нас поле задано в $\mathbb{R}^1$. Этого я понять и не могу.

Изображать разные отображения можно по-разному.
Можно изобразить отображение $f(x)=2x$ в виде графика - тогда он будет на координатной плоскости $\mathbb{R}^2$.
А можно изобразить не в виде графика, а так, как я написал выше - на числовой прямой $\mathbb{R}^1$.

Точно так же, векторное поле на $\mathbb{R}^n$ можно было бы представить себе в виде графика (только так никто не делает) - и это будет график в $\mathbb{R}^{2n}$ (а не в $\mathbb{R}^{n+1}$, как написали Вы).
Но лучше про график забыть. Удобнее представлять себе векторное поле в $\mathbb{R}^n$ без привлечения лишних измерений.

-- 25.07.2020, 15:28 --

Solaris86 в сообщении #1475875 писал(а):

Видно, что слово "точка" фигурирует в определении векторного поля.

Утундрий имеет в виду, что точка $M$ из определения - это не "точка векторного поля" (не говорят так), а точка области $G$. А вот про соответствующий этой точке вектор $\mathbf{a}(M)$ можно сказать, что это вектор данного векторного поля.

[Solaris86]

Спасибо за разъяснения!

[Walker_XXI]

Solaris86 в сообщении #1476261 писал(а):

Спасибо за разъяснения!

У меня всё-таки сложилось впечатление, что полного понимания нет. Поэтому на всякий случай дополню пояснения. Тут высказывалось мнение, что не стоит задумываться:

Mikhail_K в сообщении #1475799 писал(а):

<На самом деле, не обязательно в этом же, и может, вообще эти векторы находятся в разных пространствах - но об этом Вам сейчас задумываться не стоит.>

На самом деле для чёткого понимания именно над этим и стоит задуматься. Вектор - это элемент векторного пространства, скажем, $\mathbb{R}^n$. А теперь давайте посмотрим на приведённое Вами определение. В нём речь об области $G$. Вообще говоря, это может быть область произвольного многообразия, в том числе и область в $\mathbb{R}^n$. Вот из-за напрашивающегося естественного отождествления этих разных экземпляров пространства $\mathbb{R}^n$ и возникает путаница. Чтобы её избежать давайте рассмотрим частный случай. Представим, что $G$ - это область на сфере $S^2$, вложенной в $\mathbb{R}^3$, а векторное поле двумерное. Тогда, в соответствии с определением векторного поля, каждой точке $M\in G$ сопоставлен вектор $\mathbf{a}(M)$. Этот вектор, очевидно, не принадлежит сфере, а является элементом пространства $\mathbb{R}^2$ - плоскости $P(M)$, касательной к сфере $S^2$ в точке $M$. В другой точке $N\in G$ вектор $\mathbf{a}(N)$ (имеет свою длину и направление, которые могут не совпадать с длиной и направлением вектора в точке $M$) уже будет лежать в другой плоскости $P(N)$, касательной к сфере в точке $N$. Плоскость $P(N)$ тоже изоморфна $\mathbb{R}^2$, но это, опять таки, другое векторное пространство, и т.д.. Т.е. мы получили, что у нас к каждой точке сферы (точнее, области $G$, т.к. векторное поле определено только на ней) "приделана" касательная плоскость (в общем случае - касательное пространство, т.к. размерность его может быть больше 2), в которой лежит вектор в данной точке, а всё двумерное векторное поле на сфере (области $G$) существует вот в такой вот совокупности пространств. Для справки: получившаяся конструкция называется [векторное] касательное расслоение. Аналогичные конструкции строятся и на многообразиях большей размерности и с объектами других (не только векторных) пространств. Впрочем, это отдельная история.

Поскольку в физических приложениях обычно интересно только лишь векторное поле (например, значение вектора напряжённости электрического поля в каждой точке какой-то области нашего трёхмерного пространства), то всю эту геометрическую конструкцию расслоения не описывают, что не способствует ясному пониманию формальной математической стороны, а иногда и ведёт к запутывающим отождествлениям.

[Solaris86]

Walker_XXI в сообщении #1476388 писал(а):

На самом деле для чёткого понимания именно над этим и стоит задуматься. Вектор - это элемент векторного пространства, скажем, $\mathbb{R}^n$. А теперь давайте посмотрим на приведённое Вами определение. В нём речь об области $G$. Вообще говоря, это может быть область произвольного многообразия, в том числе и область в $\mathbb{R}^n$. Вот из-за напрашивающегося естественного отождествления этих разных экземпляров пространства $\mathbb{R}^n$ и возникает путаница. Чтобы её избежать давайте рассмотрим частный случай. Представим, что $G$ - это область на сфере $S^2$, вложенной в $\mathbb{R}^3$, а векторное поле двумерное. Тогда, в соответствии с определением векторного поля, каждой точке $M\in G$ сопоставлен вектор $\mathbf{a}(M)$. Этот вектор, очевидно, не принадлежит сфере, а является элементом пространства $\mathbb{R}^2$ - плоскости $P(M)$, касательной к сфере $S^2$ в точке $M$. В другой точке $N\in G$ вектор $\mathbf{a}(N)$ (имеет свою длину и направление, которые могут не совпадать с длиной и направлением вектора в точке $M$) уже будет лежать в другой плоскости $P(N)$, касательной к сфере в точке $N$. Плоскость $P(N)$ тоже изоморфна $\mathbb{R}^2$, но это, опять таки, другое векторное пространство, и т.д.. Т.е. мы получили, что у нас к каждой точке сферы (точнее, области $G$, т.к. векторное поле определено только на ней) "приделана" касательная плоскость (в общем случае - касательное пространство, т.к. размерность его может быть больше 2), в которой лежит вектор в данной точке, а всё двумерное векторное поле на сфере (области $G$) существует вот в такой вот совокупности пространств. Для справки: получившаяся конструкция называется [векторное] касательное расслоение. Аналогичные конструкции строятся и на многообразиях большей размерности и с объектами других (не только векторных) пространств. Впрочем, это отдельная история.

Поскольку в физических приложениях обычно интересно только лишь векторное поле (например, значение вектора напряжённости электрического поля в каждой точке какой-то области нашего трёхмерного пространства), то всю эту геометрическую конструкцию расслоения не описывают, что не способствует ясному пониманию формальной математической стороны, а иногда и ведёт к запутывающим отождествлениям.

Важная информация! Нужно её осмыслить (ох уж эти пробелы в знаниях, в частности, нулевые знания по топологии, которой у нас не было вообще...).

[Walker_XXI]

Solaris86 в сообщении #1476484 писал(а):

ох уж эти пробелы в знаниях, в частности, нулевые знания по топологии, которой у нас не было вообще...

Это не топология, а линейная алгебра и начала дифференциальной геометрии.

(Оффтоп)

Не стоит цитировать длинные сообщения без необходимости - это не приветствуется.

[ViktorArs]

Walker_XXI в сообщении #1476388 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1476261 писал(а):

Спасибо за разъяснения!

У меня всё-таки сложилось впечатление, что полного понимания нет. Поэтому на всякий случай дополню пояснения. Тут высказывалось мнение, что не стоит задумываться:

Mikhail_K в сообщении #1475799 писал(а):

<На самом деле, не обязательно в этом же, и может, вообще эти векторы находятся в разных пространствах - но об этом Вам сейчас задумываться не стоит.>

На самом деле для чёткого понимания именно над этим и стоит задуматься. Вектор - это элемент векторного пространства, скажем, $\mathbb{R}^n$. А теперь давайте посмотрим на приведённое Вами определение. В нём речь об области $G$. Вообще говоря, это может быть область произвольного многообразия, в том числе и область в $\mathbb{R}^n$. Вот из-за напрашивающегося естественного отождествления этих разных экземпляров пространства $\mathbb{R}^n$ и возникает путаница. Чтобы её избежать давайте рассмотрим частный случай. Представим, что $G$ - это область на сфере $S^2$, вложенной в $\mathbb{R}^3$, а векторное поле двумерное. Тогда, в соответствии с определением векторного поля, каждой точке $M\in G$ сопоставлен вектор $\mathbf{a}(M)$. Этот вектор, очевидно, не принадлежит сфере, а является элементом пространства $\mathbb{R}^2$ - плоскости $P(M)$, касательной к сфере $S^2$ в точке $M$. В другой точке $N\in G$ вектор $\mathbf{a}(N)$ (имеет свою длину и направление, которые могут не совпадать с длиной и направлением вектора в точке $M$) уже будет лежать в другой плоскости $P(N)$, касательной к сфере в точке $N$. Плоскость $P(N)$ тоже изоморфна $\mathbb{R}^2$, но это, опять таки, другое векторное пространство, и т.д.. Т.е. мы получили, что у нас к каждой точке сферы (точнее, области $G$, т.к. векторное поле определено только на ней) "приделана" касательная плоскость (в общем случае - касательное пространство, т.к. размерность его может быть больше 2), в которой лежит вектор в данной точке, а всё двумерное векторное поле на сфере (области $G$) существует вот в такой вот совокупности пространств. Для справки: получившаяся конструкция называется [векторное] касательное расслоение. Аналогичные конструкции строятся и на многообразиях большей размерности и с объектами других (не только векторных) пространств. Впрочем, это отдельная история.

Поскольку в физических приложениях обычно интересно только лишь векторное поле (например, значение вектора напряжённости электрического поля в каждой точке какой-то области нашего трёхмерного пространства), то всю эту геометрическую конструкцию расслоения не описывают, что не способствует ясному пониманию формальной математической стороны, а иногда и ведёт к запутывающим отождествлениям.

Очень интересная тема. Данное частное сравнение очень тоже понравилось. Тем более таким недалеким людям в этой области))) Позвольте уточнить чтоб до конца понять: какая часть фразы определяет то, что вектор лежит только на касательной плоскости, а не может "торчать" под углом?

[Someone]

ViktorArs в сообщении #1476581 писал(а):

Позвольте уточнить чтоб до конца понять: какая часть фразы определяет то, что вектор лежит только на касательной плоскости, а не может "торчать" под углом?

Сами докажите, что касательная к любой кривой, лежащей на поверхности (если касательная существует) содержится в касательной плоскости к поверхности в соответствующей точке (если, конечно, касательная плоскость существует).

[Walker_XXI]

ViktorArs в сообщении #1476581 писал(а):

какая часть фразы определяет то, что вектор лежит только на касательной плоскости, а не может "торчать" под углом?

Вообще говоря, никакая. Касательное расслоение - частный практически значимый случай (например, если рассматривать движение материальной точки по поверхности, то вектор скорости будет лежать в касательной плоскости). И тут у нас размерность векторного пространства совпадает с размерностью многообразия. Но возможны случаи (например, в электростатике), когда векторное поле ортогонально поверхности да и вообще трёхмерно. Например, сужение векторного поля напряжённости электрического поля (которое, вообще говоря, может быть заданным во всём пространстве) на какую-либо конкретную поверхность. Как я писал, возможны и более сложные случаи, например, когда в каждой точке многообразия задан не вектор, а тензор. Получим тензорное поле (пример из физики - тензор напряжённости электромагнитного поля).

Ещё раз повторю: конкретный пример касательного векторного поля на сфере я привел лишь как наглядную иллюстрацию того, что пространство, на котором задано векторное поле, и пространства, в которых векторное поле принимает значения - это разные пространства, хотя во многих случаях между ними можно установить изоморфизмы.

[ViktorArs]

Someone в сообщении #1476603 писал(а):

ViktorArs в сообщении #1476581 писал(а):

Позвольте уточнить чтоб до конца понять: какая часть фразы определяет то, что вектор лежит только на касательной плоскости, а не может "торчать" под углом?

Сами докажите, что касательная к любой кривой, лежащей на поверхности (если касательная существует) содержится в касательной плоскости к поверхности в соответствующей точке (если, конечно, касательная плоскость существует).

Спасибо за ответ.
Это ясно. Я только с т.з. для чего именно так делать?

Walker_XXI в сообщении #1476606 писал(а):

ViktorArs в сообщении #1476581 писал(а):

какая часть фразы определяет то, что вектор лежит только на касательной плоскости, а не может "торчать" под углом?

Вообще говоря, никакая. Касательное расслоение - частный практически значимый случай (например, если рассматривать движение материальной точки по поверхности, то вектор скорости будет лежать в касательной плоскости). И тут у нас размерность векторного пространства совпадает с размерностью многообразия. Но возможны случаи (например, в электростатике), когда векторное поле ортогонально поверхности да и вообще трёхмерно. Например, сужение векторного поля напряжённости электрического поля (которое, вообще говоря, может быть заданным во всём пространстве) на какую-либо конкретную поверхность. Как я писал, возможны и более сложные случаи, например, когда в каждой точке многообразия задан не вектор, а тензор. Получим тензорное поле (пример из физики - тензор напряжённости электромагнитного поля).

Ещё раз повторю: конкретный пример касательного векторного поля на сфере я привел лишь как наглядную иллюстрацию того, что пространство, на котором задано векторное поле, и пространства, в которых векторное поле принимает значения - это разные пространства, хотя во многих случаях между ними можно установить изоморфизмы.

Спасибо. Стало чуточку яснее.