Что такое базисные векторы криволинейных координат?

[SNet]

Добрый день. Поймал себя на мысли, что совсем не понимаю, как 'работают' базисные векторы криволинейных координат геометрически. Рассмотрим для простоты, например, плоскость и декартовы и полярные координаты на ней (с полярной осью вдоль $Ox$). Далее зафиксируем какой-либо ненулевой вектор $(x, y)$. В книжках соответствующие базисные векторы полярной системы координат рисуются из конца этого вектора. Тогда я предполагаю, что его полярные координаты это скалярные произведения этого вектора на базисные орты полярной СК. Но если так рисовать их, то очевидно, что вектор перпендикулярен орту угла, а потому его полярный угол равен 0, что, очевидно, не так. Где ошибка?

П.С. Что можно хорошего почитать по этой теме? Желательно на английском.

[Eule_A]

SNet в сообщении #1475525 писал(а):

на базисные орты полярной СК.

Можно в этом месте подробнее? По какому базису Вы проводите разложение выбранного Вами вектора?
Вообще, сложно говорить о геометрических вопросах без картинки. Я вот сейчас предполагаю нечто, но пока не могу определённо утверждать, что прав.

[Brukvalub]

SNet в сообщении #1475525 писал(а):

Поймал себя на мысли, что совсем не понимаю, как 'работают' базисные векторы криволинейных координат геометрически.

Вот я горжусь тем, что никогда этого не понимал и сейчас не понимаю. Базисы бывают в векторных пространствах, в аффинных пространствах бывают реперы. Но тогда способ приписывания координат вектору или точке использует заранее выбранный базис (репер) и этот принцип однозначен. А в криволинейных координатах изначально используется иной принцип приписывания точкам их координат: криволинейная система координат - это просто произвольная биекция (или почти биекция) куска многообразия и области в многомерном арифметическом пространстве. Откуда там взяться базисам?

[pogulyat_vyshel]

Есть многообразия, есть касательные пространства, есть векторные поля на многообразиях...

[Утундрий]

SNet в сообщении #1475525 писал(а):

Рассмотрим для простоты, например, плоскость и декартовы и полярные координаты на ней (с полярным радиусом вдоль оси $Ox$)

Попытался себе это представить, но не смог.

[SNet]

Eule_A
В книжке Riley (и соавторы) Mathematical methods for physics and engineering в пункте 10.1 есть следующая картинка

Собственно, эти векторы определяются как:
Для угла - $(-\sin\varphi, \cos\varphi$)
Для радиуса - $(\cos\varphi, \sin\varphi)$
в декартовых координатах. Вот на них и пытаюсь проецировать.

-- 23.07.2020, 21:45 --

Утундрий
Моя ошибка. Исправил "Полярный радиус" на "Полярную ось", извиняюсь.

[Eule_A]

Интересно. Вектор взят в одной точке, а раскладывать его Вы пытаетесь по базису в другой точке... Нехорошо...
Лучше, конечно, в терминологии, о которой Brukvalub сказал, об этом рассуждать.

[SNet]

Eule_A
Но ведь если сделать параллельный перенос вектора в начало того репера, то ничего в проекции на орты полярной СК не изменится, нет?

[Eule_A]

Орты изменятся. Вы постройте несколько локальных базисов - они все разные (поэтому слово "базис" тут и не особенно хорошее). А с параллельным перенесением векторов и вовсе поаккуратнее нужно. Здесь-то ладно (и то по умолчанию), но привычка плохая может остаться.

[svv]

SNet в сообщении #1475525 писал(а):

Тогда я предполагаю, что его полярные координаты это скалярные произведения этого вектора на базисные орты полярной СК.

Нет. Набор координат точки не составляет вектора и при замене координат не преобразуется по векторному закону. Поэтому декартовы компоненты $(x,y)$ радиус-вектора некоторой точки $P$ не дадут $(\rho,\varphi)$ при переходе к локальному базису полярной СК в точке $P$.