2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 20:52 
Аватара пользователя
Добрый день. Поймал себя на мысли, что совсем не понимаю, как 'работают' базисные векторы криволинейных координат геометрически. Рассмотрим для простоты, например, плоскость и декартовы и полярные координаты на ней (с полярной осью вдоль $Ox$). Далее зафиксируем какой-либо ненулевой вектор $(x, y)$. В книжках соответствующие базисные векторы полярной системы координат рисуются из конца этого вектора. Тогда я предполагаю, что его полярные координаты это скалярные произведения этого вектора на базисные орты полярной СК. Но если так рисовать их, то очевидно, что вектор перпендикулярен орту угла, а потому его полярный угол равен 0, что, очевидно, не так. Где ошибка? :facepalm:

П.С. Что можно хорошего почитать по этой теме? Желательно на английском.

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 21:01 
Аватара пользователя
SNet в сообщении #1475525 писал(а):
на базисные орты полярной СК.

Можно в этом месте подробнее? По какому базису Вы проводите разложение выбранного Вами вектора?
Вообще, сложно говорить о геометрических вопросах без картинки. Я вот сейчас предполагаю нечто, но пока не могу определённо утверждать, что прав.

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 21:10 
Аватара пользователя
SNet в сообщении #1475525 писал(а):
Поймал себя на мысли, что совсем не понимаю, как 'работают' базисные векторы криволинейных координат геометрически.

Вот я горжусь тем, что никогда этого не понимал и сейчас не понимаю. Базисы бывают в векторных пространствах, в аффинных пространствах бывают реперы. Но тогда способ приписывания координат вектору или точке использует заранее выбранный базис (репер) и этот принцип однозначен. А в криволинейных координатах изначально используется иной принцип приписывания точкам их координат: криволинейная система координат - это просто произвольная биекция (или почти биекция) куска многообразия и области в многомерном арифметическом пространстве. Откуда там взяться базисам?

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 21:20 
Аватара пользователя
Есть многообразия, есть касательные пространства, есть векторные поля на многообразиях...

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 21:32 
Аватара пользователя
SNet в сообщении #1475525 писал(а):
Рассмотрим для простоты, например, плоскость и декартовы и полярные координаты на ней (с полярным радиусом вдоль оси $Ox$)
Попытался себе это представить, но не смог.

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 21:37 
Аватара пользователя
Eule_A
В книжке Riley (и соавторы) Mathematical methods for physics and engineering в пункте 10.1 есть следующая картинка
Изображение
Собственно, эти векторы определяются как:
Для угла - $(-\sin\varphi, \cos\varphi$)
Для радиуса - $(\cos\varphi, \sin\varphi)$
в декартовых координатах. Вот на них и пытаюсь проецировать.

-- 23.07.2020, 21:45 --

Утундрий
Моя ошибка. Исправил "Полярный радиус" на "Полярную ось", извиняюсь.

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 22:03 
Аватара пользователя
Интересно. Вектор взят в одной точке, а раскладывать его Вы пытаетесь по базису в другой точке... Нехорошо...
Лучше, конечно, в терминологии, о которой Brukvalub сказал, об этом рассуждать.

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 22:08 
Аватара пользователя
Eule_A
Но ведь если сделать параллельный перенос вектора в начало того репера, то ничего в проекции на орты полярной СК не изменится, нет?

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение23.07.2020, 22:25 
Аватара пользователя
Орты изменятся. Вы постройте несколько локальных базисов - они все разные (поэтому слово "базис" тут и не особенно хорошее). А с параллельным перенесением векторов и вовсе поаккуратнее нужно. Здесь-то ладно (и то по умолчанию), но привычка плохая может остаться.

 
 
 
 Re: Что такое базисные векторы криволинейных координат?
Сообщение24.07.2020, 17:22 
Аватара пользователя
SNet в сообщении #1475525 писал(а):
Тогда я предполагаю, что его полярные координаты это скалярные произведения этого вектора на базисные орты полярной СК.
Нет. Набор координат точки не составляет вектора и при замене координат не преобразуется по векторному закону. Поэтому декартовы компоненты $(x,y)$ радиус-вектора некоторой точки $P$ не дадут $(\rho,\varphi)$ при переходе к локальному базису полярной СК в точке $P$.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group