Тригонометрическое уравнение с параметром

[T-Mac]

А озночает это, что при $a$ больших двух корни точно не лежат на этом промежутке

[Профессор Снэйп]

T-Mac писал(а):

А озночает это, что при $a$ больших двух корни точно не лежат на этом промежутке

С тем, что при $a \geqslant 2$ уравнение $\sin ax = 1/3$ имеет на отрезке $[\pi, 2\pi]$ не менее двух корней, я согласен. Но $a \in (0,2)$ --- это, конечно же, не ответ. Ответом будет некоторое подмножество интервала $(0,2)$.

Давайте переформулируем задачу так. Берём числовую прямую и отмечаем на ней точки

$$ \arcsin \frac{1}{3}, \pi - \arcsin \frac{1}{3}, 2\pi + \arcsin\frac{1}{3}, 3\pi - \arcsin \frac{1}{3}, 4\pi+\arcsin\frac{1}{3}, \ldots $$

Теперь Вам надо определить все значения параметра $a > 0$, при которых в отрезок $[\pi a, 2\pi a]$ попадает ровно одна из этих точек.

[T-Mac]

Я просто показал начальное условие

[Батороев]

Профессор Снэйп писал(а):

Мысленно увеличиваем $a$, смотрим, как изменяется промежуток и ловим моменты, когда в промежуток попадает лишь одна точка с синусом, равным $1/3$.

Т.к. про $a$ ничего не сказано, то может быть, пойти наоборот в сторону уменьшения?

Например, можно получить два интервала:

$ 0,055 < a < 0,10817 $
$ 0,4459 < a < 0,8919 $

[Профессор Снэйп]

T-Mac писал(а):

Я просто показал начальное условие

Не знаю, что Вы там под "начальными условиями" понимаете...

Сделайте так. Нарисуйте на плоскости координатные оси. Одну ось (горизонтальную) обозначьте $a$, а другую (вертикальную) --- $y$. Проведите две прямые: $y = \pi a$ и $y = 2\pi a$. Теперь проведите горизонтальные прямые: $y = \arcsin (1/3)$, $y = \pi - \arcsin (1/3)$, $y = 2\pi + \arcsin(1/3)$ и т. д. Ну и смотрите, при каких $a_0$ отрезок вертикальной прямой $a=a_0$, заключённый между наклонными прямыми $y = \pi a$ и $y = 2\pi a$, будет пересекать ровно одну горизонтальную прямую. Множество всех таких $a_0$ и будет ответом к задаче.

[T-Mac]

Интересное решение
Спасибо