Разрезание квадрата

[fondet]

Условия:


Вот моя попытка решения
Покрасим квадрат следующим образом:
12121212121
34343434343
...........

То есть строчка 1212....... и строчка 3434....... чередуются.
При данной раскраске легко видеть, что, какое бы положение тетрамино мы ни взяли, внутри него всегда будет находиться по одной клетке каждого цвета.
Обозначим количество клеток цвета 1 через $K_1$, цвета 2 через $K_2$ и так далее

Посчитав, имеем:
$K_1$ = 36
$K_2$ = 30
$K_3$ = 30
$K_4$ = 25

Возьмем произвольное разрезание, в котором использованы только разрешенные по условию задачи фигуры (то есть только Z-тетрамино и единичные квадратики)
Обозначим через Z количество Z-тетрамино, через $W_1$ количество единичных квадратиков цвета 1, через $W_2$ количество единичных квадратиков цвета 2 и так далее

Тогда имеем:
Z + W_1 = 36 $
Z + W_2 = 30 $
Z + W_3 = 30 $
Z + W_4 = 25 $

Откуда получаем:
W_3 = 5 + W_4 $
W_2 = 5 + W_4 $
W_1 = 11 + W_4 $

Мы хотим минимизировать сумму W_1 + W_2 + W_3 + W_4 $. Сумма минимальна тогда, когда минимально каждое из слагаемых. Легко видеть, что минимум будет достигаться при W_4 = 0, W_3 = 5, W_2 = 5, W_1 = 11.
То есть при любом разрезании должен быть как минимум 21 единичный квадратик. Теперь, чтобы доказать, что разрезание с 21 единичным квадратиком существует, необходимо привести пример. Я удалил 21 клетку таким образом, чтобы получился квадрат 10 на 10. Но привести пример не удалось. Собственно, буду благодарен за подсказку относительно того, как должно выглядеть искомое разрезание.

А возможно, искомого разрезания не существует, и тут нужна более точная оценка.

[gris]

А вы попробуйте начать укладку в полный квадрат без удаления клеток. Самым простым способом. И сразу увидите укладку с 21 единичкой.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- оставьте в виде картинки только собственно картинку, текст надо набрать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.