спираль, намотанная на спираль

[Paul Ivanov]

В трёхмерном пространстве дана стандартная спираль с единичным радиусом и постоянной кривизной, являющаяся кривой на цилиндрической поверхности.
Пусть она параметрически задаётся так: $x(u)=\cos(ku), y(u)=\sin(ku), z(u)=pu$, где $k^2+p^2=1$, то есть скорость движения в любой момент $u$ равна 1. Тогда поверхность спиральной трубки, вычерчиваемой окружностью с центром, двигающимся по спирали и с плоскостью в любой момент перпендикулярной спирали, задаётся параметрически так:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x(u,\varphi)=x(u)+r(\cos(ku)\cos(\varphi)-p\sin(ku)\sin(\varphi)) \\ y(u,\varphi)=y(u)+r(\sin(ku)\cos(\varphi)+p\cos(ku)\sin(\varphi)) \\ z(u,\varphi)=pu-rk\sin(\varphi) \\ \end{array} \right.$$

где $r,k,p$ - положительные константы и $k^2+p^2=1$, при этом $r$ - радиус этой трубчатой поверхности, $u$ - координата на спиральной оси этой трубчатой поверхности (то есть длина фрагмента спирали от $0$ до $u$), а $\varphi$ - угол, инвариантный относительно выбора $u$, под которым берётся точка на окружности-сечении этой трубчатой поверхности с центром в $(x(u),y(u),z(u))$ (под инвариантностью имею в виду инвариантность относительно выбора $u$ спирали в декартовой системе координат с началом в точке $(x(u),y(u),z(u))$, осью $z$, направленной по вектору $(x'(u),y'(u),z'(u))$ и правильно подобранной ориентацией осей $x$ и $y$).
Вопрос состоит в том, существует ли какая-та спиральная намотка на эту поверхность, получающаяся определением угла $\varphi=\varphi(u)$, как дважды непрерывно дифференцируемой функции от $u$, такая, что у неё всюду постоянная кривизна?
Понятно, что если просто брать кривую на этой поверхности с углом-константой $\varphi=\operatorname{const}$, то мы получим некоторую стандартную спираль и у неё всюду будет постоянная кривизна, но этот вариант не является спиральной намоткой именно с той точки зрения, что угол не меняется, поэтому точно обозначу ограничение так: $\forall u (\varphi'(u)>0) \wedge \exists u_1,u_2 (u_1 \ne u_2 \wedge \varphi(u_1)=\varphi(u_2))$, то есть инвариантный угол в любой момент $u$ дважды непрерывно дифференцируемо растёт и растёт достаточно быстро, чтобы достигнуть любого значения.
p.s.
Под кривизной я подразумеваю стандартную кривизну пространственной кривой, задаваемую формулой $\frac{|v'(u) \times v''(u)|}{|v'(u)|^3}$, где $v(u)=(x(u),y(u),z(u))$
Самый естественный вариант, когда $\varphi(u)=du$, где $d=\operatorname{const}$, я уже проверил и в этом случае кривизна непостоянна.
К сожалению явная формула кривизны в моём случае - то ещё страшилище, что уж говорить о решении дифференциального уравнения $g'(u,\varphi(u))=0$, где $g(u,\varphi(u))$ - кривизна в точке $u$. Поэтому надежда в первую очередь на то, что посоветуете, как доказать, что такой спиральной намотки не существует, ибо как известно, утверждение о том, что кривизна и кручение постоянны накладывают очень сильные ограничения на кривую (она обязана быть стандартной спиралью), а значит и просто постоянность кривизны должна накладывать сильные ограничения. Возможно, тут надо как-то применить топологию, но моих знаний по-моему недостаточно.
Если же всё же такая спиральная намотка существует, то было бы очень интересно найти её явное выражение.

[ИСН]

Кривая такая будет, а явного выражения у неё не будет.

[Paul Ivanov]

а как доказать, что такая кривая будет?

[Paul Ivanov]

А то мне бы опыт в копилку очень пригодился, а какой инструментарий использовать для доказательства - ума не приложу.

[vpb]

Не уверен, что для любой трубки такая "спираль на спирали" есть, но вполне может и быть.
Пример, наверное, можно так построить. Возьмем вокруг первичной спирали очень тонкую трубку. Понятно, что бОльшая главная кривизна в любой точке на трубке --- это обратная величина ее радиуса (очень большое число), а мЕньшая --- не более чем кривизна первичной спирали, примерно. Теперь, если взять некое достаточно промежуточное число $\kappa$, то понятно, что в любой точке на поверхности есть кривая, проходящая через эту точку, у которой кривизна в данной точке как раз $\kappa$. И затем надо использовать теорему существования и единственности для ОДУ. Как-то так, в общем. В технических деталях тут надо, конечно, долго копаться.

А хотя ... можно, наверное, просто запараметризовать трубку как (положение точки на первичной спирали, угол поворота), и потом задать вторичную спираль как некую функцию второго от первого (понимаете, да?), и написать некое диффуравнение на функцию (от одного переменного !), и потом показать, что оно, при подходящих условиях, имеет решение.

[ИСН]

Формально со всеми деталями я доказывать не умею, а неформально как-то так: вот у нас поверхность, одна главная кривизна у неё примерно такая, как у маленькой окружности, параметризованной $\varphi$, а другая - заметно меньше, или вообще в другую сторону. И эти кривизны нигде не меняются очень резко. Ну так возьмём кривизну немного меньше той, что по $\varphi$, и с ней пойдём маленькими шажками по поверхности. Что нам помешает?

В конце концов, Ваша спиральная трубка - почти то же самое, что тор, а на торе пример такой намотки есть: окружность Вилларсо.

[redicka]

Речь идет о такой кривой?

[Утундрий]

Paul Ivanov в сообщении #1473056 писал(а):

Вопрос состоит в том, существует ли какая-та спиральная намотка на эту поверхность, получающаяся определением угла $\varphi=\varphi(u)$, как дважды непрерывно дифференцируемой функции от $u$, такая, что у неё всюду постоянная кривизна?

Рекомендую зайти на зверя с другой стороны. Попробуйте описать все вообще пространственные кривые, кривизна которых постоянна.

[Paul Ivanov]

vpb в сообщении #1473157 писал(а):

Возьмем вокруг первичной спирали очень тонкую трубку. Понятно, что бОльшая главная кривизна в любой точке на трубке --- это обратная величина ее радиуса (очень большое число), а мЕньшая --- не более чем кривизна первичной спирали, примерно

с главными кривизнами не имею никакого опыта работы, поэтому этим путём пойти пока что опасаюсь.

vpb в сообщении #1473157 писал(а):

А хотя ... можно, наверное, просто запараметризовать трубку как (положение точки на первичной спирали, угол поворота), и потом задать вторичную спираль как некую функцию второго от первого (понимаете, да?), и написать некое диффуравнение на функцию (от одного переменного !), и потом показать, что оно, при подходящих условиях, имеет решение

А вот этим путём ходил. В общем выходит очень громоздкое ОДУ 3-го порядка (работал с ним в maple), для которого очень проблематично подогнать параметры $k,r$ и назначить $u_0, \varphi(u_0),\varphi'(u_0),\varphi''(u_0)$ так, чтобы в итоге сработал критерий Липшица. Но это ещё пол пирога, мало того в этом случае надо доказать, что в получившемся решении первая производная будет положительной и к тому же достаточно большой, чтобы витки завершались, что уже вообще не представляю как сделать.

ИСН в сообщении #1473160 писал(а):

Формально со всеми деталями я доказывать не умею, а неформально как-то так: вот у нас поверхность, одна главная кривизна у неё примерно такая, как у маленькой окружности, параметризованной $\varphi$, а другая - заметно меньше, или вообще в другую сторону. И эти кривизны нигде не меняются очень резко. Ну так возьмём кривизну немного меньше той, что по $\varphi$, и с ней пойдём маленькими шажками по поверхности. Что нам помешает?

Помешать может много чего. Как минимум какие-то особые свойства данной трубчатой поверхности, не позволяющие в таком ключе решать задачу, хотя скорее помешают мелкие трудности (на вроде подбора кусочной функции и доказательства, что в пределе из маленьких кусочков действительно получается искомая кривая с постоянной кривизной), которые являются мелкими только на словах, а на формулах, оборачиваются большой проблемой. Строить строгое доказательство такого очень трудно (в особенности учитывая то, что с формулой кривизны нельзя адекватно работать из-за размера).

redicka, да, речь о чём-то таком.

Утундрий в сообщении #1473269 писал(а):

Рекомендую зайти на зверя с другой стороны. Попробуйте описать все вообще пространственные кривые, кривизна которых постоянна.

В эту сторону тоже тыкался. К сожалению, констатирую, что раз в интернете не описано никаких особых свойств кривых с постоянной кривизной (известно только про кривые с постоянными кривизной и кручением), то и я почти наверняка в этом направлении ничего полезного не достигну (ибо таких любопытных в этом направлении, как я - много, а среди них есть намного умнее меня и коль ничего нет, то и я стопудняк не найду). Хотя вообще это конечно очень хороший вопрос, на самом деле было бы очень интересно узнать о таких кривых (вдруг я плохо искал?)

[matidiot]

Вольфрамовые спирали в лампочках накаливания имеют такую форму, называемую биспиралью!