Интегральное представление для перевёрнутых логарифмов

[novichok2018]

Вопрос в какой-то степени возник при обсуждении неравенств для логарифмов в теме topic141163.html .

Ищем интегральные представления для перевёрнутых логарифмов в такой форме

$$ \left\{ \begin{array}{rl} \frac{x}{\ln(x)} \\ \frac{x^2}{\ln^2(x)}\\ \frac{x^3}{\ln^3(x)} \end{array} \right. =f(x)+\int_1^\infty K(x,t) g(t)\,dt. $$

Здесь $x>1, f(x), K(x,t), g(x)$ --- некоторые функции.
Смысл представления в том, чтобы при дифференцированиях таких представлений определить знаки производных, или их чередование.
Для первой функции представление известно, из формулы Шварца для полуплоскости.