Теорема ![$[k]$ $[k]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a46ac0303faaaab3e65b79502ee625782.png)
обратим в

и

взаимно простые.
Слева направо я доказал. А вот в обратную сторону не могу. Доказываю методом от противного.
Рассмотрим случай

.
(

)

и

взаимно простые, т.к. единица имеет только 2 делителя: 1 и -1.
Также (

)
![$[k]$ $[k]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a46ac0303faaaab3e65b79502ee625782.png)
обратим в

. Это тоже очевидно, т.к.

- поле, состоящее из 1 элемента, для которого этот же самый элемент и является обратным (вообще, некоторые авторы этот объект полем не считают, но имхо это вполне нормальное поле, а нежелание считать такое поле полем наверное исходит из желания иметь в поле как минимум 2 разных элемента: ноль и единицу). Таким образом, утверждение теоремы справедливо для

.
Рассмотрим случай

. Предположим, что нашлись

, кольцо

,
![$[k] \in \mathbb{Z}/n$ $[k] \in \mathbb{Z}/n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/b/5ab658448a4544189aa8631c7efc8b6b82.png)
такие, что

и

взаимно простые и вместе с этим

не обратим в

. Выпишем последовательность произведений
![$[k][0], [k][1], ... , [k][n-1]$ $[k][0], [k][1], ... , [k][n-1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/9769a4d736fc63ce2a20a0f07e90199482.png)
. В ней

элементов. Т.к.
![$[k]$ $[k]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a46ac0303faaaab3e65b79502ee625782.png)
не обратим в

, то в этой последовательности нету
![$[1]$ $[1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/7/d478bbb960d11a0df52c338c436f402a82.png)
, но т.к. в

всего

элементов, то

такие, что
![$[k][i] = [k][j] \Rightarrow [k(j - i)] = [0] \Rightarrow k(j-i) \vdots n$ $[k][i] = [k][j] \Rightarrow [k(j - i)] = [0] \Rightarrow k(j-i) \vdots n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/8/3f8ee622d79ecbe62aac8a4733e39a3b82.png)
.
И вот дальше я не знаю как получить противоречие.
Первоначально попытка была следующая. Разложим

на простые множители:

. Далее легко показать, что

. Т.к.

не кратно

(т.к.

и

взаимно простые), то по лемме Евклида получаем, что

. Но как дальше получить противоречие я не знаю.