Теорема обратим в
и
взаимно простые.
Слева направо я доказал. А вот в обратную сторону не могу. Доказываю методом от противного.
Рассмотрим случай
.
(
)
и
взаимно простые, т.к. единица имеет только 2 делителя: 1 и -1.
Также (
)
обратим в
. Это тоже очевидно, т.к.
- поле, состоящее из 1 элемента, для которого этот же самый элемент и является обратным (вообще, некоторые авторы этот объект полем не считают, но имхо это вполне нормальное поле, а нежелание считать такое поле полем наверное исходит из желания иметь в поле как минимум 2 разных элемента: ноль и единицу). Таким образом, утверждение теоремы справедливо для
.
Рассмотрим случай
. Предположим, что нашлись
, кольцо
,
такие, что
и
взаимно простые и вместе с этим
не обратим в
. Выпишем последовательность произведений
. В ней
элементов. Т.к.
не обратим в
, то в этой последовательности нету
, но т.к. в
всего
элементов, то
такие, что
.
И вот дальше я не знаю как получить противоречие.
Первоначально попытка была следующая. Разложим
на простые множители:
. Далее легко показать, что
. Т.к.
не кратно
(т.к.
и
взаимно простые), то по лемме Евклида получаем, что
. Но как дальше получить противоречие я не знаю.